<3年p.222>
２節 三平方の定理の利用
丸太から切り取れる角材の大きさは？
【1】直径20 cm の丸太から，切り口が正方形の角材を切り取ります。もっとも太い角材を切り取るには，切り口の正方形の1 辺の長さをどのように求めればよいでしょうか。
丸太の直径を正方形の対角線にすればいいね。
対角線の長さから，正方形の1辺の長さが求められないかな。
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身のまわりの事象について，三平方の定理を使って，考えられるかな？
P.222，228
1 平面図形での利用
目標 ▶ 三平方の定理を使って，平面図形のいろいろな長さを求めよう。
対角線の長さや三角形の高さ
もっとも太い角材を切り取るには，切り口の正方形の対角線の長さを丸太の直径と同じにすればよい。正方形の1 辺の長さを[mathjax] \( x \) cm として，三平方の定理をもとに方程式をつくると，次のようになる。
[mathjax] \( x²+x²=20² \)
関連 P.72
例 １
1 辺5 cm の正方形の対角線の長さを求めなさい。
解答
対角線の長さを[mathjax] \( x \) cm とすると，
三平方の定理により，[mathjax] \( x²=5²+5²=50 \)
[mathjax] \( x \gt 0 \) であるから，
[mathjax] \( x=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \)
答 [mathjax] \( 5\sqrt{2} \)cm
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問 ２ 1辺6 cm の正方形の対角線の長さを求めなさい。
問 ３ 1 辺 [mathjax] \( a \) cm の正方形の対角線の長さを求めなさい。また，このことから，正方形の1 辺の長さと対角線の長さには，どんな関係があるといえますか。
例 ２
1 辺8 cm の正三角形 ABC の高さを求めなさい。
考え方
点 A から辺 BC に垂線を引き， 直角三角形をつくって三平方の定理を使う。
解答
点Aから辺BCに垂線AHを引くと，Hは辺BCの中点となるので，[mathjax] \(BH=4\)
高さAHを[mathjax] \( h \) cmとすると，三平方の定理により，[mathjax] \( \begin{eqnarray}
h²+4² &=& 8² \\
h² &=& 48
\end{eqnarray}\)
[mathjax] \( h \gt 0 \)であるから，
[mathjax] \( h=4\sqrt{3} \)
答 [mathjax] \( 4\sqrt{3} \)cm
問 ４ 例 2の[mathjax] \(\triangle ABC\) の面積を求めなさい。
問 ５ 1 辺 [mathjax] \( 2a \) cmの正三角形の高さを求めなさい。また，このことから，正三角形の1 辺の長さと高さには，どんな関係があるといえますか。
これまで調べたことから，直角二等辺三角形の3 辺の長さの比と，[mathjax] \(60^{\circ}\) の角をもつ直角三角形の3 辺の長さの比は，それぞれ次の図に示した比であることがわかる。
三角定規はこの3 辺の長さの比になっているね。
注意 3辺の長さの比をそれぞれ [mathjax] \(1:1:\sqrt{2}\) ， [mathjax] \(1:\sqrt{3}:2\) などと表すことがある。
<3年p.224>
例 ３ 右の図の直角二等辺三角形ABC で，辺ABの長さを求めなさい。
解答
[mathjax] \( AB:AC＝1:\sqrt{2} \) であるから，[mathjax] \( AB＝x \) cmとすると，
[mathjax] \( \begin{eqnarray}
x:6 &=& 1:\sqrt{2} \\
\sqrt{2}x &=& 6 \\
x &=& \dfrac{6}{\sqrt{2}} \\
&=& 3\sqrt{2} \end{eqnarray}\)
したがって，
[mathjax] \( AB=3\sqrt{2} \)cm
答 [mathjax] \(3 \sqrt{2} \)cm
問 6 次の図で，[mathjax]\( x \)，[mathjax]\( y \) の値を求めなさい。
ヒポクラテスの月 Tea Break
紀元前5 世紀，古代ギリシャにヒポクラテスという数学者がいました。このヒポクラテスがおもしろい発見をしています。
右の図のように，直角三角形 ABC の3 辺をそれぞれ直径とする3 つの半円をかきます。
ヒポクラテスは，この図から，
(アの面積)+(イの面積)=(直角三角形 ABC の面積)
という関係が成り立つことに気がつきました。この図は「ヒポクラテスの月」と呼ばれています。
ヒポクラテスの月で，上の式が成り立つことを証明してみましょう。
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弦や接線の長さ
例 ４
半径3 cm の円O で，中心からの距離が 2 cm である弦AB の長さを求めなさい。
考え方 円の中心O から弦AB に垂線OH を引くと，OH はAB の垂直二等分線になるので，△OAH は直角三角形になる。
解答
右の図で， 点H は弦AB の中点である。[mathjax] \( AH=x \) cm とすると，
[mathjax] \( \triangle OAH\) は [mathjax] \( \angle AHO=90^{\circ}\) の直角三角形であるから，
[mathjax] \( \begin{eqnarray}
x²+2² &=& 3² \\
x² &=& 3²-2² \\
&=& 5
\end{eqnarray}\)
[mathjax] \( x \gt 0 \) であるから，[mathjax] \( x=\sqrt{5} \)
したがって， [mathjax] \( AB=2\sqrt{5} \) cm
答 [mathjax] \( 2\sqrt{5} \)cm
問 ７ 半径5 cm の円 O について，次の問いに答えなさい。
⑴ 中心Oとの距離が3 cm である弦 AB の長さを求めなさい。
⑵ 弦 CD の長さが2 cm のとき，中心Oと弦CDとの距離を求めなさい。
問 ８ 次の図で，直線AB は点B を接点とする円 O の接線です。円Oの半径を2cm ，線分OAの長さを6 cm とするとき，線分AB の長さを求めなさい。
ふりかえり ▷ 1年
弦AB の垂直二等線分は，円の中心Oを通る。
ふりかえり ▷ 1年
円の接線は，接点を通る半径に垂直である。
