<3年p.222>
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身のまわりの事象について,三平方の定理を使って,考えられるかな?
P.222,228
1 平面図形での利用
目標 ▶ 三平方の定理を使って,平面図形のいろいろな長さを求めよう。
対角線の長さや三角形の高さ
もっとも太い角材を切り取るには,切り口の正方形の対角線の長さを丸太の直径と同じにすればよい。正方形の1 辺の長さを[mathjax] \( x \) cm として,三平方の定理をもとに方程式をつくると,次のようになる。
[mathjax] \( x²+x²=20² \)
関連 P.72
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例 2
1 辺8 cm の正三角形 ABC の高さを求めなさい。
考え方
点 A から辺 BC に垂線を引き, 直角三角形をつくって三平方の定理を使う。
解答
これまで調べたことから,直角二等辺三角形の3 辺の長さの比と,[mathjax] \(60^{\circ}\) の角をもつ直角三角形の3 辺の長さの比は,それぞれ次の図に示した比であることがわかる。
注意 3辺の長さの比をそれぞれ [mathjax] \(1:1:\sqrt{2}\) , [mathjax] \(1:\sqrt{3}:2\) などと表すことがある。
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弦や接線の長さ
例 4
半径3 cm の円O で,中心からの距離が 2 cm である弦AB の長さを求めなさい。
考え方 円の中心O から弦AB に垂線OH を引くと,OH はAB の垂直二等分線になるので,△OAH は直角三角形になる。
解答
右の図で, 点H は弦AB の中点である。[mathjax] \( AH=x \) cm とすると,
[mathjax] \( \triangle OAH\) は [mathjax] \( \angle AHO=90^{\circ}\) の直角三角形であるから,
[mathjax] \( \begin{eqnarray}
x²+2² &=& 3² \\
x² &=& 3²-2² \\
&=& 5
\end{eqnarray}\)
[mathjax] \( x \gt 0 \) であるから,[mathjax] \( x=\sqrt{5} \)
したがって, [mathjax] \( AB=2\sqrt{5} \) cm
答 [mathjax] \( 2\sqrt{5} \)cm