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中点連結定理の利用
Q Question
右の四角形の4つの辺の中点をとり，順に結んでみましょう。どんな図形ができるでしょうか。また，ほかの四角形についても，同じように調べてみましょう。
いつでも同じ四角形ができるといえるのかな。
見方・考え方
いくつかの四角形で調べて，どんなきまりがあるか見つけられるかな。
１ 四角形ABCDの辺AB，BC，CD，DAの中点をそれぞれ P，Q，R，Sとするとき，四角形PQRSが平行四辺形になる理由を，中点連結定理を使って考えてみましょう。
⑴ 対角線BDを引くと，[mathjax]\(\triangle ABD\)の辺BDと線分PSの間には，どんな関係が成り立つでしょうか。
また，[mathjax]\(\triangle CDB\)についてはどうでしょうか。
⑵ ⑴をもとに，四角形 PQRS が平行四辺形になる理由を説明しましょう。
【１】のことがらを証明としてまとめると，次のようになる。
［証明］
対角線BDを引く。
[mathjax]\(\triangle ABD\)において，点P，Sはそれぞれ辺AB，ADの中点であるから，
[mathjax]\(PS/\!/BD，PS=\dfrac{1}{2}BD \quad \cdots \cdots\mathsf{①}\)
[mathjax]\(\triangle CDB\)において，同様にして，
[mathjax]\(QR/\!/BD，QR=\dfrac{1}{2}BD \quad \cdots \cdots\mathsf{②}\)
①，②から，[mathjax]\(PS/\!/QR\)，[mathjax]\(PS=QR\)
1組の対辺が平行で等しいから，四角形PQRSは平行四辺形である。
ほかの「平行四辺形になるための条件」でも証明できるかな。
