<3年p.250>
３ 標本調査の利用
Q Question
ある湖にいる魚の総数を調べようと思います。湖にいる魚の総数を推定するには，どうすればよいか話し合ってみましょう。
湖にいる魚をすべて数えることは難しいよね。
標本調査を利用して，魚の総数を推定することはできるかな。
見方・考え方
具体的な場面で考えられるかな。
目標 ▷ 標本調査を利用して数を推定しよう。
湖の魚を，袋の中の碁石におきかえて考えてみよう。
１ 袋の中にいくつか白い碁石が入っています。白石の総数を推定するために，次の手順で実験を行いました。この実験で白石の総数を推定できる理由を説明しましょう。
① 袋の中から30個の白石を取り出し，取り出した白石に印をつける。
② 印をつけた白石を袋の中にもどして，よく混ぜる。
③ 袋の中を見ないで白石を40個取り出したところ，7個の白石に印がついていた。
碁石をよく混ぜることで，無作為抽出になっているのかな。
料理でも，よくかき混ぜないと均等な味にならないよね。
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【１】で，袋の中の白石は母集団であり，③で取り出した白石は標本である。また，よく混ぜて取り出しているので，無作為抽出になっている。
母集団と標本において，印がついた白石と印がついていない白石の割合が等しいとみなすと，次の比例式が成り立つ。
(袋の中の白石の総数)[mathjax]\(:\)(①で印をつけた白石の数)
[mathjax]\(=\)(③で取り出した白石の数)[mathjax]\(:\)(③で印がついていた白石の数)
２ 袋の中の白石の総数をx個として比例式をつくり，白石の総数を推定しましょう。袋の中には白石が180個入っていました。この数と比べて，気づいたことを話し合いましょう。
2からわかるように，母集団の総数は標本調査を利用して推定することができる。
３ 前ページのQの湖で，50匹の魚を捕まえ印をつけて湖にもどしました。印をつけてもどした魚が湖全体に散らばったと考え，数日後に，210匹の魚を捕まえて調べたところ，そのうちの28匹に印がついていました。湖に魚は約何匹いると推定できるでしょうか。
この方法は標識再捕法と呼ばれ，昔から行われていた推定法です。この方法は，湖の中の魚のように，限られた条件の中で用いられています。
問 １ 袋の中に，白と黒の碁石が300 個入っています。その袋から碁石を50個取り出したところ，白石が22個でした。この袋の中の黒石の個数を推定しなさい。
問 ２ 英和辞典の見出し語の総数を，標本調査を利用して調べなさい。
⑴ 英和辞典の見出し語の総数を推定するには，どうすればよいですか。推定する手順を説明しなさい。
⑵ ⑴で考えた手順で，見出し語の総数を推定しなさい。
⑶ 英和辞典のまえがきなどに記載されている見出し語の実際の総数と，⑵で推定した値を比べなさい。
どんなことがわかったかな
標本調査の考え方を利用すると，母集団の総数や分布のしかたを推定することができます。
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確かめよう 1節 標本調査
１ 次の調査では，全数調査と標本調査のどちらが適していると考えられますか。また，そう判断した理由も説明しなさい。
⑴ メーカーが行う缶詰の品質調査
⑵ 造幣局が行う貨幣の仕上りぐあいの調査
⑶ 収穫した梨の糖度の検査
２ ある町では，20歳以上の町民1200人の中から100人を無作為抽出して，暮らしやすさについての調査を行いました。この調査の母集団，標本をそれぞれ答えなさい。
３ 1番から30番までの30人の生徒がいます。乱数表または乱数さいを使って，5 人の生徒を標本として抽出しなさい。
４ ある養鶏場の200個の卵の重さの平均値を推定するために，10人の生徒が，それぞれ20 個の卵を標本として無作為抽出し，標本平均を求めました。次のデータは，それらの標本平均を小さい順に並べかえたものです。
(単位:g)
このデータについて，次の㋐～㋓のうち，正しいと考えられるものをすべて選びなさい。
㋐ 母平均は，59 g 以上64 g 以下と推定できる。
㋑ 標本平均の中に，母平均とぴったり一致するものがある。
㋒ 母平均は，62 g に近い値と推定できる。
㋓ 標本の大きさを40 個にすれば，標本平均の信頼性が増す。
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8章 「標本調査」を学んで
できるようになったこと 身のまわりの課題へ ▷P.255，258
標本調査をするとき，無作為抽出をして，母集団の性質を推定することができる。
身のまわりや数学の中から見つけた問題を，標本調査を使って解決することができる。また，調べた結果が，本当に正しいといえるかどうか確かめることができる。
これからもっと学んでみたいことや，疑問に思ったことを書いておこう。
数学へのいざない 開票率1％で当選確実！？
選挙の開票当日，テレビなどでは開票率 1％で当選確実という表示が出ることがあります。開票率が 1％にも関わらず，なぜ当選確実といえるのでしょうか。
報道機関は，各社いろいろなデータにもとづき当選確実を表示しています。
たとえば，よくとられている調査方法の 1つに，電話による「世論調査」があります。これは，選挙前にコンピュータで無作為につくられた電話番号に電話をかけ，その電話に出た人にアンケートをとって集計する調査です。
また，投票所の出口で，あらかじめ決められた人数間隔で投票者を選び，それらの人にアンケートをとって集計する「出口調査」と呼ばれる調査があります。
これらの標本調査が，報道機関が当選確実を表示するための重要なデータとなっています。
日本では，18歳になると選挙で代表を選ぶことができる権利「選挙権」が与えられます。もうすぐ選挙権が与えられるみなさん。選挙の開票当日，テレビなどで開票速報を見てみましょう。
関連 ▷ テレビ局，新聞社
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8章のまとめの問題 解答 P.306〜307 基本
１ インターネットのあるサイトを利用して，1000人に対して好きなスポーツ選手を調査し，その結果をもとに，日本国内で人気のあるスポーツ選手のベスト10を推定しました。この方法は適切といえますか。また，そう判断した理由も説明しなさい。
２ 次の表は，ある中学校の3年生の男子40人の50m走の記録です。この表から，10人の生徒を標本として無作為抽出して標本平均を求め，母平均を推定しなさい。また，実際の母平均を求め，推定した値と比べなさい。
応用
１ びんに大豆がたくさん入っています。この大豆の総数を推定するための実験の計画を立てます。どうすればよいでしょうか。手順を説明しなさい。
２ ある工場で製造された製品から，84個を無作為抽出したところ，不良品が 2個ありました。10000個の製品を製造したとき，不良品は約何個発生すると推定できますか。
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活用
１ 健太さんの家では，みかんを栽培しています。次の度数分布表は，収穫したみかんの中から500 個を無作為抽出し，そのサイズと重さを調べた結果をまとめたものです。下の問いに答えなさい。
⑴ 上の表から，収穫したみかん1 個の重さを推定しなさい。
⑵ 各階級の相対度数を求め，次の表を完成させなさい。ただし，相対度数は四捨五入して小数第二位まで求めなさい。
⑶ 2Lサイズのみかん5kg入りの箱の中には，約何個のみかんが入っていますか。
⑷ 健太さんの家で収穫したみかん全体の重さは，約21400kgでした。2Lサイズのみかん5kg入り600箱の注文があったとき，健太さんの家では，この注文を受けることができますか。また，そう考えた理由を説明しなさい。
＞＞ 関連する職業・仕事 ［農業］
<3年p.256>
乱数を使った無作為抽出
245ページのQについて，246ページの方法②～④を用いて次のように乱数を取り出し，その番号の生徒10人を標本として抽出することができます。
乱数表を用いた例
下の乱数表から，1～90の範囲で乱数を取り出すには，次のような手順で行います。
① 目をつむって，乱数表に鉛筆を立てる。
② たとえば，表の4行目，6列目に鉛筆を立てたとする。この2から始めて，右( 上下左右どの方向でもよい) へ2個の数字を順に取り，[mathjax] \(23\)，[mathjax] \(56\)，[mathjax] \(09\)，[mathjax] \(35\)，[mathjax] \(34\)，…と2桁の整数を取り出していく。乱数表の右端に達したら，次の行の左端に移る。
③ 00や91以上の数値は除き，同じ整数が出た場合も除く。
このようにして取り出した10個の整数を乱数として用います。
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乱数さいを用いた例
色がちがう乱数さいを2個用意し，一方の色の目を十の位の数，もう一方の色の目を一の位の数と決めて乱数さいを投げます。このとき，00や91以上の数値が出た場合や，同じ数値が重複した場合は，その数を除きます。このようにして得られた10個の数値を用います。
コンピュータを用いた例
表計算ソフトを用いると，手軽に，必要な範囲で擬似的に乱数を発生させることができます。
1～90の範囲で，整数の乱数を10個発生させるには，次のような手順で行います。
① A1のセルに次のような式を入力し，確定する。
=RANDBETWEEN[mathjax]\( (1，90)\)
② A1のセルの右下の角をマウスでつかみ，A10のセルまでドラッグしコピーする。
注意 同じ数が重複しないようにして，10個の異なる乱数を取り出す場合には，乱数を20個程度発生させておき，重複した数は除いて上から10個の数を取り出す。
RANDBETWEEN(最小値，最大値 )
最小値から最大値の範囲内で整数の乱数を発生させる関数
これらの方法を，標本調査で利用してみましょう。
<3年p.258>
深めよう
久山町研究
統計調査や世論調査では，全数調査ができれば正確な結果を得ることができます。しかし，全数調査をすることはコストや時間の制約から難しいことが多くあります。そのため，母集団の一部を標本として抽出して調査を行い，その結果から母集団の性質を推定する標本調査を行うことが一般的になっています。
標本調査では，母集団の性質を推定することが目的なので，標本が母集団の性質をよく表すように，標本をかたよりなく抽出することが大切です。 次の例で，標本調査について考えてみましょう。
生活習慣病の疫学調査の中に，福岡県糟屋郡久山町の住民を対象に行われている久山町研究があります。久山町研究は， 地域住民における生活習慣病の実態を明らかにすることを目的として，1961年に開始された疫学調査です。この研究は，日本人の生活習慣病の今後を予測し，国としての予防策を考える上で重要な研究になっています。
① なぜ，久山町の住民を対象に調査を行えば，日本人の生活習慣病の実態を予測することができるのか考えてみましょう。 考えたことが正しいかインターネットで調べてみましょう。
② 自分の住んでいる市区町村が，久山町のように，日本人の生活習慣病の実態を予測できそうな市区町村であるかどうかを調べてみましょう。
③ 現在，統計調査や世論調査で行われている標本調査は，どんな方法で行われているか調べてみましょう。
