<3年p.228>
２ 空間図形での利用
目標 ▷ 三平方の定理を使って，空間図形のいろいろな長さを求めよう。
Q Question
右の図のような直方体の箱に，頂点Dから頂点Fまで，面ABCDを横切るようにひもをかけます。ひもをどのようにかければ，その長さがもっとも短くなるでしょうか。
点Bを通るようにかけたときが，もっとも短くなると思うけど…。
辺BC上や辺AB上を通る場合もあるから，すべての場合を調べる必要があるんじゃないかな。
見方・考え方
いろいろな場合について考えられるかな。
問 １ 次の図は，【Q】の直方体の展開図です。【Q】で，ひもが直方体の辺と交わる点をPとするとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 上の図に，点 Pが辺 BC上にあるとき，ひもがもっとも短くなる場合をかき入れなさい。
⑵ ⑴のひもの長さを求めなさい。
⑶ 点Pが辺AB上にあるとき，⑴，⑵と同様にして，ひもの長さを求めなさい。また，⑵で求めたひもの長さと比べなさい。
<3年p.229>
問 ２ 底面の半径が4cm，高さが5cmの円柱があり，ABは母線です。図のように点Aからひもをかけて，点Bまで1周させます。
このとき，[mathjax]\(\pi\)を3.14として，ひもの最短の長さを小数第一位まで求めなさい。
▲トライ 身近にある箱を用いて，前ページのQのようにひもをかけるとき，ひもの長さがもっとも短くなるような位置を計算で求めてみよう。また，実際にひもをかけて，計算の結果を確かめてみよう。
フェルマーの最終定理 Tea Break
三平方の定理[mathjax]\(a² + b² = c²\)を成り立たせる3つの自然数の組をピタゴラス数といいます。では，この式で指数の2を，3や4などに変えたときも，その式を成り立たせる3つの自然数の組はあるのでしょうか。これについて，次のようなフェルマーの最終定理と呼ばれる定理があります。
「3以上の自然数nについて，[mathjax]\(xⁿ + yⁿ = zⁿ\)となる自然数x，y，zは存在しない」
これは，フランスの数学者ピエール・ド・フェルマー(1607～1665)が，ディオファントスの著書『算術』の余白に書いた予想で，彼は「驚くべき証明を得たが，その証明を書くには余白がたりない」と書き残しました。
その後，名だたる数学者が証明に挑みましたが，証明することはできませんでした。しかし，1993年，イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズ(1953～)が証明を発表しました。ただこの証明には誤りがあることがわかり，あきらめずに研究を続けた結果，翌1994年，ついに証明を完成させました。1995年にその証明に誤りがないことが確認され，実に300年以上にわたる歴史に終止符を打ちました。
<3年p.230>
直方体の対角線の長さ
右の図の直方体で，線分AGのように同じ面上にない2つの頂点を結ぶ線分を，直方体の対角線という。線分BH，CE，DFも，この直方体の対角線である。
例 １ 上の図の直方体で，対角線AGの長さを求めなさい。
考え方 AGを斜辺とする直角三角形AEGを使って，対角線の長さを求める。
解答
EとGを結び，[mathjax]\(AG=x\)cm，[mathjax]\(EG=y\)cmとする。
直角三角形EFGにおいて，
[mathjax]\(\hspace{71pt}y²=4²+5²\quad \cdots \cdots\mathsf{①}\)
直角三角形AEGにおいて，
答 [mathjax]\(5\sqrt{2}\) cm
問 ３ 1辺5cmの立方体の対角線の長さを求めなさい。また，1辺acmの立方体の対角線の長さを求めなさい。
問 ４ 縦，横，高さがそれぞれa，b，cである直方体の対角線の長さは，[mathjax]\(\sqrt{a²+b²+c²}\)であることを示しなさい。
<3年p.231>
角錐・円錐の高さ
例 ２ 底面の1辺が6cm，他の辺が9cmの正四角錐OABCDがあります。この正四角錐の高さを求めなさい。
考え方 底面の対角線AC，BDの交点をＨとすると，OHがこの正四角錐の高さとなる。OHを1辺とする直角三角形を使って，高さを求める。
解答
[mathjax]\(\triangle ABC\)において，[mathjax]\(AB:AC=1: \sqrt{2}\)
よって，[mathjax]\(AC=6\sqrt{2}\)cm
したがって，対角線AC，BDの交点をHとすると，
[mathjax]\(CH=\dfrac{1}{2}AC\)であるから，[mathjax]\(CH=3\sqrt{2}\)cm
また，[mathjax]\(\triangle OHC\)は，[mathjax]\(\angle OHC=90^{\circ}\)の直角三角形であるから，
[mathjax]\(OH \gt 0\)であるから，[mathjax]\(OH=3\sqrt{7}\) cm
答 [mathjax]\(3\sqrt{7}\)cm
問 ５ 例2の正四角錐の体積を求めなさい。
問 ６ 例2の正四角錐で，辺ABの中点をMとして，OMの長さを求めなさい。また，この正四角錐の表面積を求めなさい。
問 ７ 底面の半径が5ｃｍ，母線の長さが13ｃｍの円錐の高さと体積を求めなさい。
<3年p.232>
右の絵は，歌川広重が描いた浮世絵の1つで，三重県伊勢市の二見浦から富士山が見えています。この絵のように，二見浦から実際に富士山は見えるのでしょうか。
Q Question
二見浦から富士山が見えたかどうか，どのようにすれば調べられるか考えてみましょう。
見方・考え方
図形とみなして考えられるかな。
地球を球として考えればいいのかな。
地球の半径や富士山の標高をもとに，調べられないかな。
地球を球と考え，右の図のように，地球の中心をO，富士山の頂上の位置をPとする。点Pから円Oへ接線PTを引くと，[mathjax]\(\triangle TOP\)は直角三角形となる。
このとき，点Pが見える範囲は，接線PTの長さであると考えられる。
１ 地球の半径を6378km，富士山の標高を3.776kmとして，富士山が見える範囲を求めてみましょう。
<3年p.233>
２ 前ページの1で求めた長さをもとに，富士山が見える範囲を右の地図にかき入れましょう。
３ 二見浦から富士山までの距離は約200kmです。前ページの1，上の2をもとに，二見浦から富士山が見えるかどうか答えましょう。
いま，地球の半径をrkm，富士山の標高をhkmとして，接線PTの長さを求めると，[mathjax]\(TO=r\)，[mathjax]\(PO=r+h\)であるから，
[mathjax]\(\ PT \gt 0\)であるから，
[mathjax]\(\ \ \quad PT = \sqrt{h(2r+h)}\)
すなわち，[mathjax]\(\sqrt{h(2r+h)}\)がPTの長さとなる。
４ 上の結果を利用して，自分の住んでいる地域の山や建物などが見える範囲を求めてみましょう。
この前，富士山から257km離れた滋賀県の釣瓶岳から撮影された富士山の写真を見たよ。
上の結果より離れているのに，どうして撮影できたのかな。
関連 ▷ P.239
どんなことがわかったかな
三平方の定理を利用すると，直方体の対角線の長さや角錐・円錐の高さなど，2点間の距離を求めることができます。
<3年p.234>
確かめよう 2節 三平方の定理の利用
□ 三平方の定理を利用して，対角線などの長さを求めることができる。 ▷対角線の長さや三角形の高さ ・P.222 例1 ・P.223 例2
１ 次の問いに答えなさい。
⑴ 1辺7cmの正方形の対角線の長さを求めなさい。
⑵ 1辺10cmの正三角形の高さと面積を求めなさい。
２ 右の図で，x，y，zの値を求めなさい。
３ 半径6cmの円Oで，中心からの距離が3cmである弦ABの長さを求めなさい。
４ 2点 [mathjax]\(A(-3，2)\)，[mathjax]\(B(3，6)\)間の距離を求めなさい。
５ 右の図の直方体の対角線の長さを求めなさい。
６ 底面の半径が6cm，母線の長さが10cm の円錐の高さと体積を求めなさい。
<3年p.235>
7章 「三平方の定理」を学んで
できるようになったこと 身のまわりの課題へ ▷P.238,239
直角三角形では，三平方の定理が成り立ち，それを使って，直角三角形の辺の長さを求めることができる。
三平方の定理の逆を使って，3辺の長さがわかっている三角形が直角三角形かどうか判断することができる。
身のまわりや数学の中から見つけた問題を，三平方の定理や三平方の定理の逆を使って解決することができる。
さらに学んでみたいこと
これからもっと学んでみたいことや，疑問に思ったことを書いておこう。
数学へのいざない 三四五
いまから数千年前のエジプトでは，ナイル川の洪水で境界線がわからなくなった土地の分配や建築をするための測量を仕事としている人がいました。彼らは3辺の長さの比が [mathjax]\(3:4:5\) の直角三角形をもとに直角をつくったという説があります。当時建てられたピラミッドは，底面が正確な正方形になっています。
日本でも，大工が土地の測量のために，「おおがね」と呼ばれる道具をつくって直角を測ることがあります。おおがねにも，3辺の長さの比が [mathjax]\(3:4:5\) の直角三角形が利用されています。大工たちはこの方法を「三四五」と呼んで直角の確認に利用していました。
関連する職業・仕事 測量士，大工
