<3年p.86>
４ 2次方程式の解の公式
目標 ▷ どんな2次方程式でも解くことができる方法を考えよう。
[mathjax]\(3x²+5x+1=0\)
[mathjax]\(ax²+bx+c=0\)
▼ [mathjax] \(x²\)の係数を1にするために両辺を[mathjax] \(x²\)の係数でわる ▼
[mathjax]\(x²+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{3}=0\)
[mathjax]\(x²+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\)
▼ 定数項を移項する ▼
[mathjax]\(x²+\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{1}{3}\)
[mathjax]\(x²+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\)
▼ [mathjax]\((x+p)²=q\)の形にするために両辺にxの係数の[mathjax]\(\dfrac{1}{2}\)の2乗を加える ▼
[mathjax]\(x²+\dfrac{5}{3}x+\require{physics}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}=-\dfrac{1}{3}+\require{physics}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}\)
[mathjax]\(x²+\dfrac{b}{a}x+\require{physics}\left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2}=-\dfrac{c}{a}+\require{physics}\left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2}\)
▼ [mathjax]\((x+p)²=q\)の形にするために左辺を因数分解して整理する ▼
▼ 1次方程式にするために平方根の考えを使う ▼
[mathjax]\(x+\dfrac{5}{6}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{6}\)
[mathjax]\(x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b²-4ac}}{2a}\)
▼ 方程式の解 ▼
<3年p.87>
前ページで調べたことは，2次方程式の 解の公式 として，次のようにまとめることができる。
解の公式
2次方程式[mathjax]\(ax²+bx+c=0\)の解は，次のようになる。
[mathjax]\(x=\dfrac{-b \pm\sqrt{b²-4ac}}{2a}\)
解の公式を使うと，2次方程式を[mathjax]\((x+p)²=q\)の形に変形しなくても，[mathjax]\(ax²+bx+c=0\)の定数a，b，cの値を公式に代入することで，解を求めることができる。
例 １ 方程式[mathjax]\(x²+3x-2=0\)を解きなさい。
考え方 [mathjax]\(a=1\)，[mathjax]\(b=3\)，[mathjax]\(c=-2\)の場合であるから，これらの値を解の公式に代入して，解を求める。
解答
[mathjax]\(a=1\)，[mathjax]\(b=3\)，[mathjax]\(c=-2\)を解の公式に代入すると，
答 [mathjax]\(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{2}\)
問 １ 次の方程式を，解の公式を使って解きなさい。
⑴ [mathjax]\(x²+x-3=0\)
⑵ [mathjax]\(x²-3x-2=0\)
⑶ [mathjax]\(2x²-7x+1=0\)
⑷ [mathjax]\(3x²-5x-1=0\)
<3年p.88>
例 ２ 方程式[mathjax]\(x²-4x+2=0\)を解きなさい。
解答
[mathjax]\(a=1\)，[mathjax]\(b=-4\)，[mathjax]\(c=2\)を解の公式に代入すると，
答 [mathjax]\(x=2 \pm \sqrt{2}\)
問 ２ 次の方程式を，解の公式を使って解きなさい。
⑴ [mathjax]\(x²+2x-2=0\)
⑵ [mathjax]\(2x²-8x-3=0\)
例 ３ 方程式 [mathjax]\(2x²+5x-3=0\)を解きなさい。
解答
[mathjax]\(a=2\)，[mathjax]\(b=5\)，[mathjax]\(c=-3\)を解の公式に代入すると，
答 [mathjax]\(x=\dfrac{1}{2}\)，[mathjax]\(x=-3\)
解の公式では，根号の中が有理数の2乗になると，解は有理数になるね。
問 ３ 次の方程式を，解の公式を使って解きなさい。
⑴ [mathjax]\(3x²+4x+1=0\)
⑵ [mathjax]\(2x²=7x+4\)
やってみよう
計算力を高めよう4-3
▷P.90
<3年p.89>
問 ４ 次の方程式を，左辺を因数分解して解きなさい。また，解の公式を使って解きなさい。
⑴ [mathjax]\(x² + 3x – 4 = 0\)
⑵ [mathjax]\(x² -10x + 25 = 0\)
▲トライ 2次方程式には，問4⑵のように，解が1つになるものがあります。解の公式を使って解いたとき，どんな場合に解が1つになるのかを説明してみよう。
どんなことがわかったかな
どんな2次方程式でも，解の公式を使えば解を求めることができます。
次の課題へ！
2次方程式は，どんなところで使えるのかな？
P.91
確かめよう 1節 2次方程式の解き方
１ 次の㋐〜㋓の方程式のうち，解の1つが3であるものはどれですか。
㋐ [mathjax]\(x² + 2x = 16\)
㋑ [mathjax]\(x² = 5x – 6\)
㋒ [mathjax]\((x + 1)(x – 3) = 5\)
㋓ [mathjax]\(\dfrac{1}{3}x² = x\)
２ 次の方程式を解きなさい。
⑴ [mathjax]\((x + 5)(x – 8) = 0\)
⑵ [mathjax]\(x² + 11x + 30 = 0\)
⑶ [mathjax]\(x² + 4x – 12 = 0\)
⑷ [mathjax]\(x² – 2x + 1 = 0\)
⑸ [mathjax]\(x² – 9x = 0\)
⑹ [mathjax]\(x² + 9x = – 18\)
３ 次の方程式を解きなさい。
⑴ [mathjax]\(2x² = 14\)
⑵ [mathjax]\(4x² – 15 = 0\)
⑶ [mathjax]\((x + 6)² = 2\)
⑷ [mathjax]\((x – 1)² = 49\)
４ 次の方程式を，解の公式を使って解きなさい。
⑴ [mathjax]\(x² + 5x + 3 = 0\)
⑵ [mathjax]\(x² – 6x + 4 = 0\)
⑶ [mathjax]\(4x² + 8x + 1 = 0\)
⑷ [mathjax]\(3x² + 2x – 1 = 0\)
<3年p.90>
計算力を高めよう ４
家庭学習や計算練習で利用しましょう。
2次方程式の解き方 解答 ▷ P.302
次の方程式を解きなさい。
１ 因数分解を使った解き方
⑴ [mathjax]\((x + 9)(x – 3) = 0\)
⑵ [mathjax]\((x + 5)(x + 1) = 0\)
⑶ [mathjax]\(x² + 5x – 24 = 0\)
⑷ [mathjax]\(x² + 11x + 24 = 0\)
⑸ [mathjax]\(x² – 8x + 15 = 0\)
⑹ [mathjax]\(x² + 8x + 16 = 0\)
⑺ [mathjax]\(x² – 12x + 36 = 0\)
⑻ [mathjax]\(x² – x – 42 = 0\)
⑼ [mathjax]\(x² + x = 0\)
⑽ [mathjax]\(x² – 36 = 0\)
⑾ [mathjax]\(x² – 18 = 2x + 17\)
⑿ [mathjax]\(2x² – 20x + 50 = 0\)
⒀ [mathjax]\( – 3x² + 15x – 18 = 0\)
⒁ [mathjax]\((x – 2)(x + 2) = 3x\)
⒂ [mathjax]\((x – 3)² = – x + 15\)
⒃ [mathjax]\(x(x – 4) = 7(x – 4)\)
⒄ [mathjax]\((x + 1)(x + 4) – 5x – 5 = 0\)
⒅ [mathjax]\(\dfrac{1}{2}x(x + 1) = 21\)
２ 平方根の考えを使った解き方
⑴ [mathjax]\(3x² = 36\)
⑵ [mathjax]\(4x² = 81\)
⑶ [mathjax]\(x² – 7 = 0\)
⑷ [mathjax]\(3x² – 27 = 0\)
⑸ [mathjax]\(\dfrac{1}{4}x² = 5\)
⑹ [mathjax]\((x + 6)² = 11\)
⑺ [mathjax]\((x – 9)² = 16\)
⑻ [mathjax]\((x – 3)² – 18 = 0\)
⑼ [mathjax]\((2x + 5)² = 9\)
⑽ [mathjax]\((6 – 3x)² = 81\)
３ 解の公式を使った解き方
⑴ [mathjax]\(x² + 7x + 2 = 0\)
⑵ [mathjax]\(2x² – 5x + 1 = 0\)
⑶ [mathjax]\(3x² – 5x – 2 = 0\)
⑷ [mathjax]\(4x² + 8x – 5 = 0\)
⑸ [mathjax]\(x² + 2x – 4 = 0\)
⑹ [mathjax]\(x² + 6x + 1 = 0\)
⑺ [mathjax]\(x² + x = 1\)
⑻ [mathjax]\(3x² + 2 = 8x\)
⑼ [mathjax]\(6x² = x + 4\)
⑽ [mathjax]\(x(6x – 1) = 1\)
⑾ [mathjax]\(5x² – 4 = 6x\)
⑿ [mathjax]\(\dfrac{x²}{5} + \dfrac{x}{10} = 1\)
