<2年p.153>
2つの角が等しい三角形
Q Question
2つの角が等しい三角形をいくつかかいて，二等辺三角形になるかどうか確かめましょう。 また， 反例が見つかるかどうか話し合ってみましょう。
「2つの角が等しい三角形ならば，二等辺三角形である」は，「二等辺三角形ならば，2つの底角は等しい」の逆だね。
この逆は，いつでも正しいといえるのかな。
見方・考え方
根拠を明らかにして，説明できるかな。
2つの角が同じになる三角形をかこう。
目標 ▷ 二等辺三角形の性質の逆が成り立つかどうかを考えよう。
例 ２ [mathjax]\(\triangle ABC\) において，[mathjax]\(\angle B=\angle C\) ならば，[mathjax]\(AB=AC\) であることを証明しなさい。
考え方 [mathjax]\( AB=AC\) を導くために，2つの線分が対応する辺となるような合同な三角形を見つければよい。そのために，[mathjax]\(\angle A\) の二等分線を引いて，2つの三角形に分けて考える。
証明
[mathjax]\(\angle A\)の二等分線を引き，辺BCとの交点をDとする。
[mathjax]\(\triangle ABD\) と [mathjax]\(\triangle ACD\) において，
三角形の内角の和は [mathjax]\( 180^{ \circ }\) であるから，
②，③，④より，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，
[mathjax]\(\triangle ABD \equiv \triangle ACD\)
したがって， [mathjax]\(AB=AC\)
<2年p.154>
前ページの例2で証明したことは，次のように，定理としてまとめることができる。
定理 二等辺三角形になるための条件
2つの角が等しい三角形は，二等辺三角形である。
問 ５ 二等辺三角形ABCで，底角[mathjax]\(\angle B\) ，[mathjax]\(\angle C\) の二等分線BE，CDをそれぞれ引き，その交点をPとします。このとき，[mathjax]\(\triangle PBC\) が二等辺三角形になることを証明しなさい。
問 ６ 148ページの1のように，ふせんを折ったとき，重なった部分の三角形はどんな三角形になりますか。また，そのことを説明しなさい。
Q Question
右の図のように，二等辺三角形ABCの等しい辺 AB，AC上に [mathjax]\(BD=CE\) となるように，それぞれ点 D，Eをとり，B と E，CとDをそれぞれ結びます。このとき，[mathjax]\(BE=CD\) となることの証明のしかたを考えてみましょう。
前ページの例2のように，三角形の合同を使えば証明できるのかな。
どの三角形と，どの三角形に着目すればいいのかな。
見方・考え方
証明するためには，どこに着目して考えればいいかな。
<2年p.155>
問 ７ 前ページの【Q】の問題で，[mathjax]\(BE=CD\) となることを証明しなさい。
⑴ どのように証明したらよいか，話し合いなさい。
[mathjax]\(BE=CD\) を証明するには，BE，CDが対応する辺になるような合同な三角形を見つければいいね。
結論から逆に考えたんだね。[mathjax]\(\triangle ABE\)と[mathjax]\(\triangle ACD\)，または[mathjax]\(\triangle CBE\)と[mathjax]\(\triangle BCD\)を使ってできないかな。
たとえば，[mathjax]\(\triangle ABE\)と[mathjax]\(\triangle ACD\)の合同を示すには，三角形の合同条件のどれが使えそうかな。
使えそうな合同条件を予想しながら，[mathjax]\(\triangle ABE\)と[mathjax]\(\triangle ACD\)の合同を示して，[mathjax]\(BE=CD\) を証明してみよう。
⑵ 真央さんは，[mathjax]\(BE=CD\) を，次のように証明しました。この証明について，話し合いなさい。
これでいいのかな？
[mathjax]\(\triangle ABE\) と [mathjax]\(\triangle ACD\) において，
[mathjax]\(AE=AC-CE\) ，[mathjax]\(AD=AB-BD\) であるから，
よって，①，③，④より，[mathjax]\(\triangle ABE \equiv \triangle ACD\)
どの三角形の合同条件を使ったのかが書いてあると，ほかの人にもわかりやすいと思います。 また，最後の結論も書いておいた方がいいです。
⑶ [mathjax]\(BE=CD \) となることの証明を，友だちにわかりやすいように書きなさい。
<2年p.156>
[mathjax]\(BE=CD\) を証明するのに，[mathjax]\(\triangle CBE\) と [mathjax]\(\triangle BCD\) の合同を示すとしたら，どの三角形の合同条件を使えばいいのかな。
点D，Eが辺AB，ACの延長線上にある場合も，同じように [mathjax]\(BE=CD\) がいえるのかな。
▲トライ 154ページの【Q】の問題で，点D，Eを辺AB，ACの延長線上に [mathjax]\(BD=CE\) となるようにとったとき，同じように [mathjax]\(BE=CD \) であるといえるか考えてみよう。
⑴
⑵
正三角形の性質
正三角形は，次のように定義される。
定義 3つの辺が等しい三角形を正三角形という。
Q Question
149ページの二等辺三角形の定義と，上の正三角形の定義から，二等辺三角形と正三角形の間にはどんな関係があるといえるでしょうか。
正三角形も2つの辺の長さが等しいといえるね。
正三角形も，二等辺三角形といっていいのかな。
見方・考え方
どこに着目して考えればいいかな。
<2年p.157>
前ページの【Q】からわかるように，正三角形は二等辺三角形の特別な場合とみることができる。
問 ８ [mathjax]\(\triangle ABC\) において，[mathjax]\(AB=BC=CA\) ならば，[mathjax]\(\angle A=\angle B=\angle C\) であることを証明します。次の [mathjax]\(\boxed{\phantom{00}}\) をうめて，証明を完成させなさい。
［証明］
[mathjax]\(\triangle ABC\) を [mathjax]\(AB=AC\) の二等辺三角形と考えると，
[mathjax]\(\angle B=\angle \boxed{\phantom{00}}\) ･･････①
[mathjax]\(\triangle ABC\) を [mathjax]\(BA=\boxed{\phantom{0000}}\) の二等辺三角形と考えると，
[mathjax]\(\angle A=\angle \boxed{\phantom{00}}\) ･･････②
①，②から，[mathjax]\(\angle A=\angle B=\angle C\)
問 ９ [mathjax]\(\triangle ABC\) において，[mathjax]\(\angle A=\angle B=\angle C\) ならば，[mathjax]\(AB=BC=CA\) であることを証明しなさい。
問 10 右の図のように線分AB上に点Cをとり，AC，BCをそれぞれ1辺とする正三角形ACP，CBQをつくるとき，次の問いに答えなさい。
⑴ [mathjax]\(AQ=PB\) であることを証明しなさい。
⑵ AQとPBの交点をOとするとき，[mathjax]\(\angle AOP\) の大きさを求めなさい。
関連 P.178
どんなことがわかったかな
2つの角が等しい三角形は，二等辺三角形になります。正三角形は特別な二等辺三角形といえます。
また，三角形の合同を示すことにより，対応する辺や角が等しいことを証明することができます。
次の課題へ！
直角三角形も特別な三角形だけど，どんな性質があるのかな？
P.158
<2年p.158>
２ 直角三角形の合同
Q Question
[mathjax]\(\triangle ABC\) と [mathjax]\(\triangle DEF\) で，
ならば，[mathjax]\(\triangle ABC \equiv \triangle DEF\) といえるでしょうか。また，その理由を説明してみましょう。
1辺と2つの角が等しいね。
合同条件をそのまま使えないから，どうすればいいのかな。
見方・考え方
根拠を明らかにして，説明できるかな。
目標 ▷ 二等辺三角形の性質を使って，直角三角形が合同になる条件について調べよう。
直角三角形の直角に対する辺を斜辺という。
Qからわかるように，2つの直角三角形は，「斜辺と1つの鋭角」がそれぞれ等しければ合同である。
次に，2つの直角三角形で，「斜辺と他の1辺」がそれぞれ等しい場合を考えてみよう。
「1つの鋭角」を「他の1辺」に変えたんだね。
[mathjax]\(\triangle ABC\) と [mathjax]\(\triangle DEF\) で，
とする。このとき，[mathjax]\(\triangle ABC\) と [mathjax]\(\triangle DEF\) が合同であることを証明すればよい。
<2年p.159>
問 １ 前ページの図で，右のように，[mathjax]\(\triangle DEF\) を裏返して，等しい辺ACとDFを重ね合わせると，[mathjax]\(\angle C=\angle F=90^{\circ}\) であるから，3点[mathjax]\(B，C（F），E\)は一直線上に並び，[mathjax]\(\triangle ABE\) ができる。この図について，次の問いに答えなさい。
⑴ [mathjax]\(\triangle ABE\) で，[mathjax]\(\angle B=\angle E\) となる理由をいいなさい。
⑵ ⑴を使って，[mathjax]\(\triangle ABC \equiv \triangle AEC\) を証明しなさい。
これまで調べたことは，次のように，定理としてまとめることができる。直角三角形では，三角形の合同条件のほかに，次の合同条件も使える。
定理
直角三角形の合同条件
2つの直角三角形は，次のどちらか1つが成り立てば合同である。
① 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
② 斜辺と他の1辺がそれぞれ 等しい。
問 ２ 次の図で，合同な三角形はどれとどれですか。記号[mathjax]\(\equiv\)を使って表しなさい。また，そのときの合同条件をいいなさい。
<2年p.160>
直角三角形の合同条件を使って，図形の性質を証明してみよう。
例 １ [mathjax]\(\angle XOY\)の二等分線OZ上の点Pから，2辺OX，OYに垂線を引き，OX，OYとの交点をそれぞれA ，Bとします。このとき，[mathjax]\(PA=PB\)であることを証明しなさい。
考え方 [mathjax]\(PA=PB\)を導くために，2つの線分が対応する辺となるような合同な三角形を見つけ，それらが合同であることを示せばよい。
証明
[mathjax]\(\triangle AOP\)と[mathjax]\(\triangle BOP\)において，
仮定から，[mathjax]\(\angle PAO=\angle PBO=90^{\circ}\cdots\cdots\text{①}\)
[mathjax]\(\hspace{42pt}\angle AOP=\angle BOP\hspace{28pt}\cdots\cdots\text{②}\)
また，[mathjax]\(\hspace{17pt}OP\)は共通[mathjax]\(\hspace{62pt}\cdots\cdots\text{③}\)
①， ②， ③より， 直角三角形の斜辺と1 つの鋭角がそれぞれ等しいから，
[mathjax] \(\hspace{40pt}\triangle AOP\equiv \triangle BOP\)
したがって，[mathjax]\(\hspace{8pt}PA=PB\)
問 ３ 例1の証明から，角の二等分線にはどんな性質があるといえますか。ことばで説明しなさい。
問 ４ [mathjax]\(\angle B=90^{\circ}\)の直角三角形ABCの斜辺AC上に，[mathjax]\(AB=AD\)となるように点Dをとり，Dを通るACの垂線と辺BCとの交点をEとします。このとき，[mathjax]\(BE=DE\)であることを証明しなさい。
どんなことがわかったかな
三角形の角の性質や二等辺三角形の性質を使うと，直角三角形の合同条件を導くことができます。
次の課題へ！
三角形のいろいろな性質を調べたけど，四角形にもいろいろな性質があるのかな？
P.162
<2年p.161>
確かめよう １節 三角形
１ 二等辺三角形と正三角形の定義を，それぞれいいなさい。
２ 二等辺三角形ABCの等しい辺AB，AC上に[mathjax]\(AD=AE\)となるようにそれぞれ点D，Eをとり，BとE，CとDをそれぞれ結びます。次の問いに答えなさい。
⑴ [mathjax]\(BE=CD\)であることを証明しなさい。
⑵ BEとCDの交点をPとするとき，[mathjax]\(\triangle PBC\)はどんな三角形ですか。また，その理由を説明しなさい。
３ 直角三角形の合同条件について，次の□にあてはまることばを書き入れなさい。
① 斜辺と1つの[mathjax]\(\boxed{\phantom{000}}\)がそれぞれ等しい。
② 斜辺と他の[mathjax]\(\boxed{\phantom{000}}\)がそれぞれ等しい。
４ 右の図の四角形ABCDで，[mathjax]\(AB=AD\)，[mathjax]\(\angle B=\angle D=90^{\circ}\)ならば，[mathjax]\(BC=DC\)であることを証明しなさい。
