<3年p.173>
3節 相似な図形の面積比・体積比
辺の長さが2倍になると，面積も2倍になる？
右の図は，[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DEF\)で，相似比は[mathjax]\(1:2\)です。
相似比が[mathjax]\(1:2\)の図形は，面積の比も[mathjax]\(1:2\)になっているのかな。
【１】 上の図で，[mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle DEF\)の面積比はどうなっているか考えてみましょう。
注意 面積の比のことを面積比という。
相似比が[mathjax]\(1:2\)だから，面積比も[mathjax]\(1:2\)だと思う。
図を見ると，2倍よりも，もっと大きくなっているみたい。
【２】 次の図形は，相似比が[mathjax]\(1:2\)の四角形です。面積比がどうなっているか予想してみましょう。
次の課題へ！
相似な2つの図形の相似比が[mathjax]\(1:2\)のとき，面積比も[mathjax]\(1:2\)になっているかな？
P.174
<3年p.174>
１ 相似な図形の面積比
Q Question
合同な三角形をしきつめた次の図について，下の問いを考えてみましょう。
⑴ [mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle ADE\)の相似比と面積比を求めましょう。
⑵ [mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle AFG\)の相似比と面積比を求めましょう。
⑶ ⑴，⑵から，相似比と面積比の関係を予想しましょう。
相似比と面積比は同じになるのかな。
いつでも同じことがいえるのかな。
見方・考え方
相似比と面積比の間には どんな関係があるかな。
目標 ▷ 平面図形の相似比と面積比の関係について調べよう。
次の図は，[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle A´B´C´\)で，相似比が[mathjax]\(1:k\)であることを示している。[mathjax]\(\triangle ABC\)，[mathjax]\(\triangle A´B´C´\)の面積をそれぞれ [mathjax] \(S\)，[mathjax] \(S´\)とすると，
このことから，相似な三角形では，対応する線分の長さがk倍になると，面積は[mathjax] \(k²\)倍になることがわかる。
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問 １ [mathjax]\(\triangle ABC\)を5倍に拡大すると，その面積は何倍になりますか。
相似な四角形ABCD，四角形[mathjax] \(A´B´C´D´\)を，対角線[mathjax] \(AC\)，[mathjax] \(A´C´\) でそれぞれ2つの三角形に分けると，
[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle A´B´C´\)，[mathjax]\(\triangle ACD \backsim \triangle A´C´D´\)
であり，相似比はどちらも[mathjax]\(1:k\)である。
2つの四角形の面積をそれぞれ [mathjax] \(S\)，[mathjax] \(S´\)とし，各三角形の面積を右の図のように，それぞれ[mathjax] \(P\)，[mathjax] \(Q\)，[mathjax] \(P´\)，[mathjax] \(Q´\)とすると，
[mathjax]\(P´=k²P\)，[mathjax]\(Q´=k²Q\)
これより，
相似な多角形は三角形に分けて考えればいいね。
このように考えると，相似な多角形では，対応する部分の長さがk倍になると，面積は[mathjax] \(k²\)倍になることがわかる。
一般に，相似な図形の面積について，次の定理が成り立つ。
定理
相似な図形の面積比
相似な図形の面積比は，相似比の2乗に等しい。
すなわち， 相似比が[mathjax]\(m:n\)ならば，面積比は[mathjax]\(m²:n²\)となる。
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問 ２ 2つの円の半径が，それぞれ6cm，10cmのとき，相似比，円周の長さの比，面積比を求めなさい。
例 ２ 相似比が[mathjax]\(5:4\)の[mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle DEF\)があります。[mathjax]\(\triangle ABC\)の面積が100cm²のとき，[mathjax]\(\triangle DEF\)の面積を求めなさい。
考え方 [mathjax]\(\triangle ABC\) と[mathjax]\(\triangle DEF\) の相似比から，2つの三角形の面積比を求める。
解答
[mathjax]\(\triangle DEF\) の面積を[mathjax] \( x \) cm²とすると， 面積比は相似比の2乗に等しいから，
[mathjax] \(\hspace{41pt}100:x = 5²:4²\)
これを解くと，
答 [mathjax] \( 64 \) cm²
問 ３ 次の図の[mathjax]\(\triangle ABC\)で，[mathjax]\(DE/\!/BC\)，[mathjax]\(AD:DB=2:1\)です。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ [mathjax]\(\triangle ADE\)と[mathjax]\(\triangle ABC\)の面積比を求めなさい。
⑵ [mathjax]\(\triangle ABC\)の面積が45cm²のとき，四角形DBCEの面積を求めなさい。
問 ４ 右の図の四角形ABCDは，[mathjax]\(AD/\!/BC\) の台形です。[mathjax]\(AD:BC=2:3\)，[mathjax]\(\triangle OBC=36\)cm²のとき，[mathjax]\(\triangle ODA\)，[mathjax]\(\triangle OAB\)，台形ABCDの面積を求めなさい。
どんなことがわかったかな
相似な平面図形では，面積比は相似比の2乗になっていることをもとにして，相似な図形の面積を求めることができます。
次の課題へ！
空間図形についても，平面図形と同じようなことがいえるのかな？
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