<3年p.155>
４ 相似の利用
Q Question
右の図から，相似の関係になっているところを見つけて，木の高さを求める方法を考えてみましょう。
相似な三角形とみなせるところを見つければいいのかな。
鉄棒の高さと影の長さの関係を利用できないかな。
見方・考え方
図形とみなして考えられるかな。
目標 ▷ 相似の考えを利用して，身のまわりの問題を解決しよう。
例 １ ある時刻に影の長さを測定したところ，木の影の長さは12m，高さ2mの鉄棒の影の長さは[mathjax]\(1.5\)mでした。この木の高さを求めなさい。
解答
[mathjax] \(\triangle ABC\) と [mathjax] \(\triangle DEF\) において，
[mathjax] \(\angle B= \angle E=90^{\circ}\) ，[mathjax] \(\angle C= \angle F\)
２組の角がそれぞれ等しいから，
[mathjax] \(\hspace{7pt}\triangle ABC \backsim \triangle DEF\)
木の高さを [mathjax] \( x \) m とすると，
答 16 m
問 １ 右の図のように，1本の棒がピラミッドの近くに立っているとき，棒の高さを1m，影の長さを2m，ピラミッドの影の長さを280mとすると，ピラミッドの高さは何mになりますか。
<3年p.156>
例 ２ 池をはさむ2地点A，B間の距離を求めるために，2地点を見渡せるC地点を決め，C，A間，C，B間の距離と[mathjax]\(\angle C\)の大きさを測定したところ，右の図のようになりました。A，B間の距離を求めなさい。
考え方 縮尺を決めて縮図をかき，その縮図上の長さを測り，縮尺をもとに実際の長さを求める。
解答
縮尺を[mathjax] \( \dfrac{1}{500} \) として，[mathjax] \(\triangle ACB\) の縮図をかくと，
右の図の[mathjax] \(\triangle A´C´B´\) のようになった。
辺[mathjax] \(A´B´\)の長さを測ると， 約[mathjax]\(3.6\) cm
したがって，
[mathjax] \(3.6 \times 500=1800\)(cm)
答 約 18 m
問 ２ 校舎の高さを測定するために，校舎に向かう水平な直線上で20m離れた地点から校舎の頂上を見上げたところ，その角度は[mathjax]\(40^{\circ}\)でした。目の高さを[mathjax]\(1.5\)m として縮図をかき，校舎の高さを求めなさい。
木の高さを見積もる知恵 Tea Break
江戸時代の数学書『塵劫記』には，木の高さを見積もる方法が書かれています。
右の図は，木こりたちが使っていた方法で，またの間から木の先端を見るという方法です。[mathjax]\(\angle CDE\)のように腰を直角に曲げ，またの間から木の先端が見える位置まで移動します。このとき，上半身と下半身はほぼ同じ長さとなり，[mathjax]\(\triangle CDE\)と[mathjax]\(\triangle ABC\)は直角二等辺三角形になるので，BCの長さが木の高さになります。
<3年p.157>
誤差
Q Question
前ページの例2で，辺[mathjax] \(A´B´\)を測ると約[mathjax]\(3.6\)cmでした。このとき，この答えは正確な値といえるか話し合ってみましょう。
辺[mathjax] \(A´B´\)の長さは，[mathjax]\(3.61\)cmや[mathjax]\(3.62\)cmかもしれないね。
真の値とはどのくらいちがうのかな。
見方・考え方
測定して得られた値が正しいとみなしていいかな。
ふりかえり
▷p.47
真の値に近い値を近似値という。
計器を使った量の測定では，真の値は正しく測れないことがあるため，測定値を近似値で表す。
近似値から真の値をひいた差を誤差という。
[mathjax]\((\textsf{誤差})=(\textsf{近似値})-(\textsf{真の値})\)
計器を使った量の測定では，真の値が測れなくても真の値がどの範囲にあるのかを知ることはできる。たとえば，測定値[mathjax]\(3.6\)cmは，小数第二位を四捨五入して得られた近似値と考えられる。したがって，その真の値をacmとすると，aの範囲は，
[mathjax]\(3.55 \leqq a \lt 3.65\)
となる。このとき，誤差の絶対値は[mathjax]\(0.05\)cm 以下となる。
問 ３ 前ページの例2の答えを約18mとしてもよい理由を説明しなさい。
問 ４ 次の⑴，⑵は，四捨五入によって得られた近似値です。真の値をそれぞれamとして，aの範囲を不等号を使って表しなさい。また，誤差の絶対値はそれぞれ何m以下となりますか。
⑴ [mathjax]\(25.6\)m
⑵ [mathjax]\(1.83\)m
有効数字
前ページの例2で，辺[mathjax] \(A´B´\)の長さ[mathjax]\(3.6\)cmは近似値であるが，目盛りを読み取って得られた数字なので，3と6は信頼できる数字である。このような信頼できる数字を有効数字という。
<3年p.158>
例 ３ 札幌市の人口は1972202人です。1970000人と近似値で表したとき，千の位を四捨五入したと考えられるので，[mathjax] \(1\)，[mathjax] \(9\)，[mathjax] \(7\)は有効数字である。また，万の位を四捨五入すると，近似値は2000000人であり，有効数字は[mathjax] \(2\)，[mathjax] \(0\)である。
問 ５ ある品物を，最小の目盛りが10g であるはかりで量ったところ，1260gでした。この測定値の有効数字を答えなさい。
「地球から太陽までの距離は149600000km」と近似値で表すことがある。この場合，どこまでが有効数字であるかわからないので，有効数字がはっきりとわかるようにするために，
[mathjax]\((\mathsf{整数部分が}1 \mathsf{桁の小数}) \times (10 \mathsf{の累乗)}\)
[mathjax]\((\mathsf{整数部分が}1 \mathsf{桁の小数}) \times \dfrac{1}{10\mathsf{の累乗}}\)
で表すことがある。たとえば，地球から太陽までの距離の近似値149600000 km の有効数字が[mathjax] \(1\)，[mathjax] \(4\)，[mathjax] \(9\)，[mathjax] \(6\)，[mathjax] \(0\)の5桁であるとき，「[mathjax]\(1.4960 \times 10⁸\)km」のように表す。
注意 末位に0がある場合でも，0が有効数字であるときは，省略はしない。
例 ４ 近似値[mathjax]\(0.047\)g は，有効数字が[mathjax] \(4\)，[mathjax] \(7\)の2桁であるとき，次のように表す。
[mathjax]\(4.7 \times \dfrac{1}{10²}\)g
問 ６ 次の値を，有効数字を2桁として，有効数字がはっきりわかる形で表しなさい。
⑴ 250g
⑵ 6000km
⑶ [mathjax]\(0.80\)m
問 ７ 四捨五入して，近似値[mathjax]\(3.776 \times 10³\)mが得られました。このとき，誤差の絶対値は何m以下となりますか。
どんなことがわかったかな
相似を利用すると，実際には測れない場合でも，長さを求めることができます。ただし，測定値はふつう誤差があり，有効数字を使って表すことがあります。
<3年p.159>
確かめよう 1節 相似な図形
１ 右の図で，四角形 ABCD と四角形 EFCG は相似の位置にあります。次の問いに答えなさい。
⑴ 相似の中心をいいなさい。
⑵ 四角形 ABCD は四角形 EFCG の何倍の拡大図になっているか求めなさい。
２ 右の図で，[mathjax]\(\mathsf{五角形} ABCDE \backsim \mathsf{五角形} FGHIJ\) であるとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 五角形ABCDEと五角形FGHIJの相似比を求めなさい。
⑵ 辺BCの長さを求めなさい。
⑶ [mathjax]\(\angle F\)の大きさを求めなさい。
３ 次の図で，相似な三角形を記号[mathjax]\(\backsim\)を使って表しなさい。また，そのときの相似条件をいいなさい。
⑴
⑵
４ [mathjax]\(\triangle ABC\)の頂点A，Bから辺BC，CAに，それぞれ垂線AD，BEを引くとき，[mathjax]\(\triangle ADC \backsim \triangle BEC\)であることを証明しなさい。
５ 次の値を有効数字が3桁の近似値とするとき，有効数字がはっきりわかる形で表しなさい。また，誤差の絶対値はいくら以下と考えられますか。
⑴ 3190m
⑵ [mathjax]\(0.526\)kg
