<3年p.146>
２ 相似な図形の性質
Q Question
四角形ABCDを3倍に拡大した四角形[mathjax] \(A´B´C´D´\)を，次の図にかきましょう。また，辺の長さや角の大きさについて調べてみましょう。
相似の中心を使わなくてもかけそうだね。
相似な図形について，いつでも同じことがいえるのかな。
見方・考え方
相似な図形には，どんな性質があるか見つけられるかな。
目標 ▷ 相似な図形の性質について調べよう。
Qの四角形[mathjax] \(A´B´C´D´\)と四角形ABCDの間には，対応する辺の長さと対応する角の大きさについて，次の関係がある。
[mathjax]\(A´B´=3AB\)，[mathjax]\(B´C´=3BC\)，[mathjax]\(C´D´=3CD\)，[mathjax]\(D´A´=3DA\)
[mathjax]\(\angle A´=\angle A\)，[mathjax]\(\angle B´=\angle B\)，[mathjax]\(\angle C´=\angle C\)，[mathjax]\(\angle D´=\angle D\)
また，対応する辺の長さの関係は，次のように表すこともできる。
[mathjax]\(A´B´:AB=B´C´:BC=C´D´:CD=D´A´:DA=3:1\)
問 １ 【Q】 の2つの四角形で，対角線[mathjax] \(A´C´\)とAC，[mathjax] \(B´D´\)とBDの長さの関係をそれぞれ調べ，記号を使って表しなさい。
問 ２ 144ページの 【Q】 の[mathjax]\(\triangle A´B´C´\) と[mathjax]\(\triangle ABC\) について，対応する辺の長さ，対応する角の大きさの関係を，それぞれ記号を使って表しなさい。
<3年p.147>
一般に，相似な図形では，次のことが成り立つ。
相似な図形の性質
❶ 相似な図形では，対応する線分の長さの比はすべて等しい。
❷ 相似な図形では，対応する角の大きさはそれぞれ等しい。
問 ３ 次の図で，三角形㋐と三角形㋑は相似である。このとき，三角形㋐と三角形㋒も相似といえますか。
問3の図で，三角形㋒は，三角形㋑を対称移動した図形であり，この2つの三角形は合同である。
したがって，三角形㋐と三角形㋒も相似である。
問 ４ 次の各組の図形は，つねに相似であるといえますか。
⑴ 2つの正五角形
⑵ 2つのひし形
⑶ 2つの円
注意 多角形以外の図形でも，ある図形を拡大，縮小した図形は相似である。
相似な図形で，対応する線分の長さの比を，相似比 という。
前ページの【Q】の四角形[mathjax] \(A´B´C´D´\)と四角形ABCDの相似比は，[mathjax]\(3:1\) である。
<3年p.148>
例 １ 右の図で，[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DEF\) であるとき，対応する辺の長さの比は，
のように，すべて [mathjax]\(2:1\) である。
したがって，[mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle DEF\)の相似比は，[mathjax]\(2:1\) である。
問 ５ 次の図で，[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DEF\)であるとき，[mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle DEF\)の相似比を求めなさい。
問 ６ 相似な図形で，相似比が [mathjax]\(1:1\) であるのはどんな場合ですか。
例1の[mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle DEF\)で，対応する辺の長さの比について，
[mathjax]\(12:6=10:5\)
が成り立つ。
一方，となり合う辺の長さの比については，
[mathjax]\(12:10=6:5\)
が成り立つ。
このように，相似な図形では，それぞれの図形を構成する辺の長さの比も等しい。
次の課題へ！
相似な2つの三角形の相似比が [mathjax]\(2:1\) のとき，面積の比も [mathjax]\(2:1\) になっているのかな？
P.173
<3年p.149>
相似な図形の性質の利用
例 ２ 右の図で，[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DEF\)であるとき，辺ABの長さを求めなさい。
考え方 対応する辺の長さの比が等しいことから，[mathjax]\(AB=x\)cmとして，比例式に表す。
解答
[mathjax]\(AB=x\)cmとすると，
したがって，[mathjax]\(AB=12\) cm
答 12cm
ふりかえり▷1年
[mathjax]\(x:8=9:6\) という式でも求められるね。
問 ７ 例2で，[mathjax]\(AC=14\)cmのとき，辺DFの長さを求めなさい。
問 ８ 次の図で，[mathjax]\(\mathsf{四角形}ABCD \backsim \mathsf{四角形}EFGH\)であるとき，辺DC，EHの長さをそれぞれ求めなさい。
どんなことがわかったかな
相似な図形では，対応する線分の長さの比がすべて等しく，対応する角の大きさがそれぞれ等しい。また，相似比を使うと，辺の長さを求めることができます。
次の課題へ！
2つの三角形が相似であるかどうかは，三角形の合同を調べたときと同じように調べられるのかな？
P.150
<3年p.150>
三角形の相似条件
Q Question
右の図のような[mathjax]\(\triangle ABC\)があります。
次のような条件で[mathjax]\(\triangle DEF\)をかき，2つの図形を比べてみましょう。
[mathjax]\(EF=2a\)，[mathjax]\(FD=2b\)，
[mathjax]\(DE=2c\)
どんな条件のときに，相似な三角形がかけるのかな。
見方・考え方
三角形の合同条件と同じように考えられるかな。
目標 ▷ 2つの三角形が相似になるための条件について調べよう。
右の図の[mathjax]\(\triangle A´B´C´\) は，[mathjax]\(\triangle ABC\)を2倍に拡大したものである。
【Q】でかいた[mathjax]\(\triangle DEF\)と[mathjax]\(\triangle A´B´C´\)は，3組の辺の長さがそれぞれ等しいから合同である。したがって，
[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DEF\)
である。
問 １ 辺の長さや角の大きさに着目して，上の方法以外で，2倍に拡大した図をかく方法を話し合いなさい。
<3年p.151>
[mathjax]\(\triangle ABC\)を2倍に拡大した[mathjax]\(\triangle A´B´C´\)をかくには，次の3つの方法が考えられる。
① 3辺の長さをそれぞれ2倍にする。
[mathjax]\(a´=2a\)，[mathjax]\(b´=2b\)，[mathjax]\(c´=2c\)
② 2辺の長さをそれぞれ2倍にして，その間の角を等しくする。
たとえば，[mathjax]\(a´=2a\)，[mathjax]\(c´=2c\)，[mathjax]\(\angle B´=\angle B\)
③ 1辺の長さを2倍にして，その両端の角をそれぞれ等しくする。
たとえば，[mathjax]\(a´=2a\)，[mathjax]\(\angle B´=\angle B\)，[mathjax]\(\angle C´=\angle C\)
問 ２ 上の②，③の方法で，[mathjax]\(\triangle A´B´C´\)をかきなさい。
三角形の相似条件は，次のようにまとめることができる。
三角形の相似条件
2つの三角形は，次のどれか1つが成り立てば相似である。
① 3組の辺の比がすべて等しい。
[mathjax]\(a:a´=b:b´=c:c´\)
② 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
[mathjax]\(a:a´=c:c´\)
[mathjax]\(\angle B=\angle B´\)
③ 2組の角がそれぞれ等しい。
[mathjax]\(\angle B=\angle B´\)
[mathjax]\(\angle C=\angle C´\)
合同条件と比べてみよう。 相似条件③は，辺の比を考えなくていいんだね。
ふりかえり
▷2年
三角形の合同条件
① 3組の辺がそれぞれ等しい。
② 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
③ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
<3年p.152>
問 ３ 次の図で，相似な三角形はどれとどれですか。また，そのときの相似条件をいいなさい。
例 １
右の図で，[mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle EDC\)は，
[mathjax]\(\angle ABC = \angle EDC\)
[mathjax]\(\angle ACB = \angle ECD\)
より，2組の角がそれぞれ等しいから，
[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle EDC\)
[mathjax]\(\triangle EDC\)を抜き出して，[mathjax]\(\triangle ABC\)と同じ向きにかいてみよう。
問 ４ 次の図で，相似な三角形を記号 [mathjax]\(\backsim\) を使って表しなさい。また，そのときの相似条件をいいなさい。
⑴
⑵
⑶
<3年p.153>
三角形の相似条件を使った図形の証明
これからは，「三角形の相似条件」も，証明の根拠として用いることにする。
問 ５ 前ページの問4⑴の図で，[mathjax]\(\triangle AOC \backsim \triangle BOD\)であることを，次のように証明しました。[mathjax]\(\boxed{\phantom{000}}\)をうめて，証明を完成させなさい。
［証明］
[mathjax]\(\triangle AOC\)と[mathjax]\(\triangle BOD\)において，
仮定から， [mathjax]\(\hspace{41pt} AO:BO=8:6=\boxed{\phantom{00}}:\boxed{\phantom{00}} \quad \cdots \cdots\)①
[mathjax]\(\hspace{86pt}CO:DO=12:9=\boxed{\phantom{00}}:\boxed{\phantom{00}} \ \ \cdots \cdots\)②
①，②から，[mathjax]\(\hspace{37pt}AO:BO=CO:DO \hspace{40pt} \cdots \cdots \)③
対頂角は等しいから， [mathjax]\(\boxed{\phantom{0000000}} = \boxed{\phantom{0000000}} \hspace{39pt} \cdots \cdots\)④
③，④より，[mathjax]\(\boxed{\phantom{0000000000000000000}}\)が
それぞれ等しいから，[mathjax]\(\hspace{10pt}\triangle AOC \backsim \triangle BOD\)
例 ２ [mathjax]\(\angle A=90^{\circ}\) の直角三角形ABCで，頂点Aから辺BCに垂線ADを引くとき，[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DBA\)であることを証明しなさい。
考え方 [mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DBA\)を導くために，対応する2組の角が等しいことを見つければよい。
証明
[mathjax]\(\triangle ABC\) と[mathjax]\(\triangle DBA\) において，
仮定から，
[mathjax]\(\angle BAC=\angle BDA=90^{\circ}\) ・・・・・・①
また，[mathjax]\(\angle B\) は共通 ・・・・・・②
①， ②より， 2 組の角がそれぞれ等しいから，
[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DBA\)
<3年p.154>
問 ６ 前ページの例2の図で，[mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DAC\) であることを証明しなさい。
例2，問6から，[mathjax]\(\triangle DBA \backsim \triangle DAC\) であることもいえる。すなわち，例2の図で，[mathjax]\(\triangle ABC\)，[mathjax]\(\triangle DBA\)，[mathjax]\(\triangle DAC\)は，それぞれたがいに相似である。
問 ７ 次の図で，線分AC，DCの長さを求めなさい。
問 ８ 右の図のように，[mathjax]\(\triangle ABC\)の辺BC上に点Dをとります。
⑴ [mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle DAC\)であることを証明しなさい。
⑵ 辺ADの長さを求めなさい。
問 ９ 次の相似の位置にある [mathjax]\(\triangle ABC\) と [mathjax]\(\triangle A´B´C´\) について，下の問いに答えなさい。
⑴ [mathjax]\(\triangle OA´B´ \backsim \triangle OAB\) であることを証明しなさい。
⑵ [mathjax]\(A´B´:AB＝3:1\) である理由をいいなさい。
⑶ [mathjax] \(A´B´\)とABの位置関係について，どんなことがいえますか。
⑷ [mathjax]\(\triangle ABC \backsim \triangle A´B´C´\) であることを，三角形の相似条件を使って証明しなさい。
どんなことがわかったかな
2つの三角形が相似であるかどうかは，三角形の相似条件を使えば確かめることができます。
次の課題へ！
相似の考えは，どんなところで使えるのかな？
P.155
