<3年p.116>
３ 関数 [mathjax]\(y=ax²\) の値の変化
Q Question
関数 [mathjax]\(y=x²\) では，xの値が増加するにつれて，それに対応するyの値はどのように変化しているでしょうか。109ページのグラフを使って調べてみましょう。
1次関数のグラフとは，どんなところがちがうのかな。
見方・考え方
グラフのどこに着目して考えればいいかな。
目標 ▷ グラフをもとにして，関数 [mathjax]\(y=ax²\) の値の変化について調べよう。
[mathjax]\(y=x²\) では，xの値が増加するにつれて，それに対応するyの値は次のように変化する。
⑴ [mathjax]\(x \lt 0\) のとき，yの値は減少する。
⑵ [mathjax]\(x \gt 0\) のとき，yの値は増加する。
⑶ [mathjax]\(x=0\) のとき [mathjax]\(y=0\) になり，yの値は減少から増加に変わる。このとき，yは最小値0をとる。
問 １ 関数[mathjax]\(y=\dfrac{1}{2}x²\)では，xの値が増加するにつれて，それに対応するyの値はどのように変化しますか。109ページの図にかき入れたグラフを使って調べなさい。
問 ２ 関数[mathjax]\(y=-x²\)では，xの値が増加するにつれて，それに対応するyの値はどのように変化しますか。
[mathjax]\(y=-x²\) では，[mathjax]\(x=0\) のとき [mathjax]\(y=0\) となり，yの値は増加から減少に変わる。このとき，yは最大値0をとる。
<3年p.117>
関数[mathjax]\(y=ax²\)で，xの変域が限られている場合のyの変域を調べてみよう。
例 １ 関数[mathjax]\(y=\dfrac{1}{4}x²\)で，xの変域が[mathjax]\(-2 \leqq x \leqq 4\)のときのyの変域を求めなさい。
考え方 グラフを使って，xの変域におけるyの値の変化を調べる。
解答
[mathjax] \( x \) の変域が [mathjax] \( -2 \leqq x \leqq 4 \) のとき，
[mathjax] \( y=\dfrac{1}{4}x² \) のグラフは右の図の実線の部分になる。
[mathjax] \(-2 \leqq x \leqq 0\) のとき，[mathjax] \( y \) の値は1 から０まで減少する。
[mathjax] \( 0 \leqq x \leqq 4\) のとき，[mathjax] \( y \) の値は
０から4 まで増加する。
したがって， [mathjax] \( y \) の変域は，
[mathjax] \(0 \leqq y \leqq 4\)
答 [mathjax] \( 0 \leqq y \leqq 4\)
[mathjax]\(x＝-2\)のときのyの値は，最小値にはならないね。
問 ３ [mathjax]\(y=\dfrac{1}{4}x²\)で，xの変域が次の⑴，⑵のときのyの変域を求めなさい。
⑴ [mathjax]\(-4 \leqq x \leqq 2\)
⑵ [mathjax]\(2 \leqq x \leqq 6\)
問 ４ 次の関数で，xの変域が [mathjax]\(-2 \leqq x \leqq 3\) のときのyの変域を求めなさい。
⑴ [mathjax]\(y=3x²\)
⑵ [mathjax]\(y=-\dfrac{1}{2}x²\)
[mathjax] \(109\)，[mathjax] \(112\)ページにかき入れたグラフを利用しよう。
<3年p.118>
変化の割合
Q Question
1次関数[mathjax]\(y=2x+3\)の変化の割合は，2で一定でした。関数[mathjax]\(y=x²\)の変化の割合について，109ページの図を使って調べてみましょう。
見方・考え方
1次関数と同じように，グラフをもとにして考えられるかな。
1次関数と同じように，つねに変化の割合は一定になるのかな。
ふりかえり▷2年
[mathjax]\((\mathsf{変化の割合})=\dfrac{(y \mathsf{の増加量})}{(x \mathsf{の増加量})}\)
関数[mathjax]\(y=x²\)で，xの値が[mathjax] \(-3\)から3まで1ずつ増加するとき，yの増加量は，次の表で示すように，[mathjax] \(-5\)，[mathjax] \(-3\)，[mathjax] \(-1\)，[mathjax] \(1\)，[mathjax] \(3\)，[mathjax] \(5\)となる。
したがって，[mathjax]\(y=x²\)の変化の割合は一定ではない。
反比例も変化の割合が一定ではなく，グラフが曲線だったね。
問 ５ [mathjax]\(y=x²\) について，次の問いに答えなさい。
⑴ [mathjax]\(x \lt 0\)のときと[mathjax]\(x \gt 0\)のときでは，変化の割合にどんなちがいがありますか。
⑵ xの値の絶対値が大きくなるにつれて，yの値の変化のしかたはどのように変わりますか。
問 ６ 関数[mathjax]\(y=-x²\)について対応の表をつくり，問5と同じことを調べなさい。
<3年p.119>
例 ２ 関数[mathjax]\(y=\dfrac{1}{2}x²\)で，xの値が2から4まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
解答
[mathjax] \(x=2\) のとき，
[mathjax] \(x=4\) のとき，
したがって， 変化の割合は，
答 3
例2の図で，2点 A[mathjax] \((2，2)\)，B[mathjax] \((4，8)\)を通る直線の傾きは[mathjax]\(\dfrac{CB}{AC}\)である。すなわち，xの値が2から4まで増加するときの変化の割合が，この直線の傾きを表している。
問 ７ [mathjax]\(y=\dfrac{1}{2}x²\)で，xの値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。
⑴ 4から6まで
⑵ [mathjax] \(-4\)から[mathjax] \(-2\)まで
問 ８ 関数[mathjax]\(y=-2x²\)で，xの値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。
⑴ 2から5まで
⑵ [mathjax] \(-3\)から0まで
これまで調べてきたように，関数[mathjax]\(y=ax²\)の変化の割合は，1次関数と異なり，一定ではない。
どんなことがわかったかな
関数[mathjax]\(y=ax²\)の変化の割合は一定ではなく，[mathjax]\(x=0\)を境としてyの値は増加と減少が変わります。
次の課題へ！
関数[mathjax]\(y=ax²\)の変化の割合には，どんな意味があるのかな？
P.120
<3年p.120>
平均の速さ
Q Question
左の写真のように，空中で物を落下させたとき，落下した距離は時間の2乗に比例し，落下し始めてからx秒間にym 落下したとすると， xとyの間には，[mathjax]\(y=4.9x²\)の関係があることが知られています。
次の表のxの値に対応するyの値を求め，表を完成させましょう。また，変化の割合はどんなことを表しているか話し合ってみましょう。
時間の経過とともに，同じ時間に落下する距離は増えるけど，変化の割合と何か関係があるのかな。
見方・考え方
いろいろな場合を調べて考えられるかな。
目標 ▷ 物が落下するときの関数[mathjax]\(y＝4.9x²\)の変化の割合が，どんな意味をもつのかを考えよう。
物が落下するときの平均の速さは，次の式で求めることができる。
[mathjax]\((\mathsf{平均の速さ})= \dfrac{(\mathsf{落下した距離})}{(\mathsf{落下した時間})}= \dfrac{(y\mathsf{の増加量})}{(x\mathsf{の増加量})}\)
したがって，[mathjax]\(y=4.9x²\)の変化の割合は，平均の速さを表している。平均の速さを求めると，次のようになる。
0秒後～1秒後 [mathjax]\(\dfrac{4.9-0}{1-0}=4.9\) [mathjax]\(4.9\)m/s
1秒後～2秒後 [mathjax]\(\dfrac{19.6-4.9}{2-1}=14.7\) [mathjax]\(14.7\)m/s
問 ９ 【Q】について，次の平均の速さを求めなさい。
⑴ 2秒後 ～3秒後
⑵ 3秒後 ～4秒後
⑶ 4秒後 ～5秒後
発展 高等学校
▲トライ 上のように，1秒後 ～2秒後の平均の速さは[mathjax]\(14.7\)m/sでしたが，
1秒後～[mathjax]\(1.1\)秒後，1秒後 ～[mathjax]\(1.01\)秒後，…
と時間の幅を短くしていくと，平均の速さはどのように変化するかを調べよう。また，その結果から1秒後の瞬間の速さを予想してみよう。
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関数[mathjax]\(y＝ax+b\)と関数[mathjax]\(y＝ax²\)の特徴の比較
問 １０ 次の[mathjax]\(\boxed{\phantom{000}}\)をうめて，表を完成させなさい。
どんなことがわかったかな
関数[mathjax]\(y=4.9x²\)の変化の割合は一定ではなく，物が落下するときの平均の速さを表しています。
次の課題へ！
身のまわりで，関数[mathjax]\(y=ax²\)の関係にあることがらは，ほかにもあるのかな？
P.122
