<3年p.107>
２ 関数[mathjax]\(y=ax²\)のグラフ
[mathjax]\(y=x²\)のグラフ
Q Question
関数[mathjax]\(y=x²\)について，次の表を完成させて，対応するx，yの値の組を座標とする点を，下の図にかき入れてみましょう。
また，グラフがどんな形になるか考えてみましょう。
見方・考え方
これまでと同じように，いくつか点をとって考えられるかな。
関数[mathjax]\(y=x²\)では，yの値は0以上になるね。
グラフは，直線ではなさそうだけど，曲線になるのかな。
目標 ▷ 関数[mathjax]\(y＝ax²\)のグラフや，その特徴について調べよう。
【Q】 でかき入れた点は，一直線上には並ばない。さらに多くの点をとり，どんなグラフになるかを調べてみよう。
<3年p.108>
問 １ [mathjax]\(y=x²\)で，xの値を[mathjax] \(-1\)から1まで[mathjax]\(0.1\)おきにとってyの値を求め，次の表を完成させなさい。また，対応するx，yの値の組を座標とする点を下の図にかき入れなさい。
[mathjax]\(y=x²\)で，さらに多くの点をとっていくと，点の集合は1つのなめらかな曲線になる。原点の付近をさらに拡大すると，次の図のようになる。
<3年p.109>
関数 [mathjax]\(y=x²\) のグラフは，次の図のような，なめらかな曲線になる。
<3年p.110>
[mathjax]\(a\gt 0\)のときの[mathjax]\(y=ax²\)のグラフ
Q Question
関数[mathjax]\(y=2x²\)について，次の問いに答えましょう。
⑴ 次の表を完成させましょう。
⑵ 上の表をもとに，[mathjax]\(y=2x²\)のグラフを，前ページの図にかき入れ，[mathjax]\(y=x²\)のグラフと比べてみましょう。
比例[mathjax]\(y=ax\)のグラフは，比例定数aが変わると傾きが変わったね。
関数[mathjax]\(y=ax²\)のグラフは，比例定数aが変わると何が変わるのかな。
見方・考え方
比例定数が1でないときは，どんなグラフになるかな。
【Q】 の表で，それぞれのxの値に対応するyの値は，x²の値の2倍になっている。
[mathjax]\(y=2x²\)のグラフは右の図のようになり，このグラフ上の点は，[mathjax]\(y=x²\)のグラフ上の各点のy座標を2倍にした点であることがわかる。
問 ２ [mathjax]\(y=x²\)のグラフをもとにして，次の関数のグラフを，前ページの図にかき入れなさい。
⑴ [mathjax]\(y=3x²\)
⑵ [mathjax]\(y=\dfrac{1}{2}x²\)
問 ３ [mathjax]\(a \gt 0\)のとき，関数[mathjax]\(y=ax²\)のグラフにはどんな特徴があるといえるか話し合いなさい。
どのグラフにも共通することは何かな。
<3年p.111>
[mathjax]\(a \lt 0\)のときの[mathjax]\(y=ax²\)のグラフ
Q Question
関数[mathjax]\(y=-x²\)について，次の問いに答えましょう。
⑴ 次の表を完成させましょう。
⑵ 上の表をもとに，[mathjax]\(y=-x²\)のグラフを，次ページの図にかき入れ，[mathjax]\(y=x²\)のグラフと比べてみましょう。
どちらのグラフも原点を通っているね。
2つのグラフはどんな関係にあるのかな。
見方・考え方
比例定数が負の数のときは，どんなグラフになるかな。
【Q】 の表で，それぞれの[mathjax]\(x\)の値に対応する[mathjax]\(y\)の値は，[mathjax]\(x²\)の値と絶対値が等しく，符号が反対になっている。
[mathjax]\(y=-x²\)のグラフは右の図のようになり，このグラフ上の点は， [mathjax]\(y=x²\)のグラフ上の各点とx軸について対称な点である。
したがって，[mathjax]\(y=x²\)のグラフと [mathjax]\(y=-x²\)のグラフは，x軸について対称な曲線となる。
問 ４ [mathjax]\(y=\dfrac{1}{2}x²\)のグラフをもとにして，[mathjax]\(y=-\dfrac{1}{2}x²\)のグラフを，次ページの図にかき入れなさい。
問 ５ [mathjax]\(a \lt 0\)のとき， 関数[mathjax]\(y=ax²\)のグラフにはどんな特徴があるといえるか話し合いなさい。また，[mathjax]\(a \gt 0\)のときのグラフと比べなさい。
<3年p.112>
<3年p.113>
これまで調べたことは，次のようにまとめることができる。
関数[mathjax]\(y=ax²\)のグラフ
関数[mathjax]\(y=ax²\)のグラフには，次の特徴がある。
① 原点を通り，y軸について対称な曲線である。
② [mathjax]\(a \gt 0\)のとき，上に開いている。
[mathjax]\(a \lt 0\)のとき，下に開いている。
③ aの絶対値が大きいほど，グラフの開き方は小さい。
④ [mathjax]\(y=ax²\)のグラフと[mathjax]\(y=-ax²\)のグラフは，x軸について対称である。
関数[mathjax]\(y=ax²\)のグラフの曲線は，放物線と呼ばれる。放物線には対称の軸があり，放物線と対称の軸との交点を放物線の頂点という。 [mathjax]\(y=ax²\)のグラフは，y軸を対称の軸，原点を頂点とする放物線である。
問 ６ 右の図の①～④の放物線は，次の㋐〜㋓の関数のグラフです。①～④は，それぞれどの関数のグラフですか。また，その理由を説明しなさい。
㋐ [mathjax]\(y=\dfrac{1}{3}x²\)
㋑ [mathjax]\(y=-x²\)
㋒ [mathjax]\(y=3x²\)
㋓ [mathjax]\(y=-\dfrac{1}{3}x²\)
どんなことがわかったかな
関数[mathjax]\(y=ax²\)のグラフは，原点を通り，y軸について対称な放物線になります。
次の課題へ！
グラフをもとにして，関数[mathjax]\(y=ax²\)の変化のしかたについて，もっと調べられるかな？
P.116
<3年p.114>
逆関数 発展 高等学校 Tea Break
xの値を決めると，それに対応するyの値がただ1つ決まるとき，yはxの関数であるといいます。
たとえば，1次関数[mathjax]\(y=x+1\) はxを決めると，それに対応するyの値はただ1つに決まります。
それでは逆に，yの値を決めると，それに対応するxの値もただ1つに決まるでしょうか。
右上のグラフからもわかるように，1次関数[mathjax]\(y=x+1\)では，yの値を決めると，それに対応するxの値もただ1つに決まります。
同じように，関数[mathjax]\(y=x²\)について，yの値を決めると，それに対応するxの値がただ1つに決まるか調べてみましょう。
右下のグラフからもわかるように，関数[mathjax]\(y=x²\)では，yの値を決めても，それに対応するxの値がただ1つに決まりません。
1次関数[mathjax]\(y=x+1\)のように，yの値を決めると，それに対応するxの値もただ1つに決まるとき，逆関数が存在するといいます。関数[mathjax]\(y=x²\)の場合，yの値を決めても，それに対応するxの値がただ1つに決まらないので，逆関数は存在しません。
<3年p.115>
身近に見られる放物線 Tea Break
投げ上げたボールや飛行機の先端部など，放物線は身のまわりのいろいろなところで見ることができます。
広島県の因島大橋や東京都のレインボーブリッジは巨大なつり橋として有名です。つり橋は2本の橋脚の間にケーブルを張り，ケーブルで橋全体の重さを支える構造になっています。くさりの両端を固定して自然に垂れ下げると，くさりは懸垂線と呼ばれる放物線に似た形になりますが，因島大橋などのように重量の大きいつり橋では，ケーブルは放物線をえがくことが知られています。
衛星放送を受信するパラボラアンテナの「パラボラ」（ parabola ）は，「放物線」を意味しています。パラボラアンテナは，放物線が対称の軸のまわりを回転してできた面（放物面）を利用しています。遠方から対称の軸に平行に届いた電波はこの面に当たって反射し，1点に集められます。そこに受信機を設置することにより，効率よく電波を集めることができます。
身のまわりから放物線を探してみましょう。
