<3年p.96>
３章のまとめの問題 解答 P.302〜303 基本
１ 次の㋐〜㋓の方程式のうち，解の1つが [mathjax] \(-2\) であるものはどれですか。
㋐ [mathjax]\(x²-2=0\)
㋑ [mathjax]\(x²-x=6\)
㋒ [mathjax]\((x-5)(x+2)=0\)
㋓ [mathjax]\((x-2)²=0\)
２ 次の方程式を解きなさい。
⑴ [mathjax]\(4x²=25\)
⑵ [mathjax]\((x-5)²=6\)
⑶ [mathjax]\((2x-1)²=64\)
⑷ [mathjax]\(x²+8x+12=0\)
⑸ [mathjax]\(x²-x-30=0\)
⑹ [mathjax]\(x²-7x+1=0\)
⑺ [mathjax]\(4x²-28x+24=0\)
⑻ [mathjax]\(2x²-6x+3=0\)
⑼ [mathjax]\(x²+5=10x-20\)
⑽ [mathjax]\(21x=3x²\)
３ 2次方程式[mathjax]\(x²+ax-15=0\)の解の1つが3のとき，aの値を求めなさい。また，もう1つの解を求めなさい。
４ ある自然数を2乗するところを，誤って2倍してしまったため，答えが35小さくなりました。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ もとの自然数をxとして，方程式をつくりなさい。
⑵ ⑴でつくった方程式を解き，もとの自然数を求めなさい。
５ 右の図のように，1辺15mの正方形の土地に，幅が一定の道と花だんをつくります。花だんの面積を144m²にするには，道の幅を何mにすればよいですか。
<3年p.97>
応用
１ 次の方程式を解きなさい。
⑴ [mathjax]\(x²+3x=4(x+3)\)
⑵ [mathjax]\((x-4)²=2(x-5)+2\)
⑶ [mathjax]\(\dfrac{1}{3}x(x-2)=2\)
⑷ [mathjax]\(x²+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}=0\)
２ 次の㋐，㋑の2次方程式は，どちらも解の1つが2です。このとき，下の問いに答えなさい。
㋐ [mathjax]\(x²-4ax+3b=0\)
㋑ [mathjax]\(x²+ax-2b=0\)
⑴ a，bの値を求めなさい。
⑵ ㋐，㋑のもう1つの解を，それぞれ求めなさい。
３ 連続する3つの自然数があります。もっとも小さい数ともっとも大きい数の積から，中央の数の2倍をひいた差は47になります。この3つの自然数を求めなさい。
４ 横が縦より3cm長い長方形の厚紙があります。この厚紙の4すみから，1辺2cmの正方形を切り取って，ふたのない箱をつくったところ，その容積が80cm³になりました。もとの厚紙の縦の長さを求めなさい。
５ 1辺10cmの正方形ABCDがあります。点Pは，秒速1cm で辺AB上をAからBまで動きます。また，点Qは，点Pと同時に出発して，点Pと同じ速さで辺BC上をBからCまで動きます。[mathjax]\(\triangle PBQ\)の面積が8cm²になるのは，点 P，Q が出発してから何秒後ですか。
<3年p.98>
3章のまとめの問題 活用
１ 多角形に何本の対角線が引けるか調べています。次の問いに答えなさい。
⑴ 四角形，五角形，六角形，七角形は，それぞれ対角線が何本引けるか，次の図を使って求めなさい。
⑵ n角形では，[mathjax]\(\dfrac{1}{2}n(n – 3)\)本の対角線を引くことができます。
1つの頂点から何本の対角線が引けるかを考えて，この[mathjax]\(\dfrac{1}{2}n(n – 3)\)の式の意味を説明しなさい。
⑶ 八角形では，対角線が何本引けますか。また，対角線が35本引けるのは何角形ですか。⑵の式を使って求めなさい。
<3年p.99>
深めよう
2次方程式のおもしろい解き方 発展
方程式[mathjax]\(x² + 6x – 5 = 0\) を解いてみましょう。
この2次方程式を，[mathjax]\((x + a)(x + b) = 0\) の形にできれば，解は[mathjax]\(x = -a\)，[mathjax]\(x = -b\) と求められます。[mathjax]\((x + a)(x + b) = 0\)の左辺を展開すると，[mathjax]\(x² + (a + b)x + ab = 0\) となり，次の2つの式を満たすa，bを求めれば[mathjax]\(x² + 6x – 5 = 0\)を因数分解できます。
この3は，[mathjax]\(a+b=6\)の6の半分だね。
ここで，①に着目し，a，bを次のようにおきかえます。
この③，④を②に代入すると，[mathjax]\((3+m)(3-m)=-5\)となります。
これをmについて解くと，次のようになります。
mは [mathjax]\(+\sqrt{14}\) と [mathjax]\(-\sqrt{14}\) がありますが，aとbの値が入れかわるだけなので，どちらを使っても同じになります。ここでは [mathjax]\(+\sqrt{14}\) の方を③，④に代入します。
以上より，方程式[mathjax]\(x²+6x-5=0\)は，[mathjax]\(\{x+(3+\sqrt{14})\}\{x+(3-\sqrt{14})\}=0\)と変形できます。したがって，方程式の解は，次のようになります。
[mathjax]\(x=-3 \pm \sqrt{14}\)
① 上で求めた解が正しいかどうかを，解の公式を使って確かめてみましょう。
② 次の方程式を，上の方法で解いてみましょう。
⑴ [mathjax]\(x²+4x-1=0\)
⑵ [mathjax]\(x²+2x-2=0\)
