教科書アドバイザー「マスマス！」

３年３章２節－２（親ページ）096-099

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<3年p.96>

３章のまとめの問題　解答　P.302〜303　　基本

１　次の㋐〜㋓の方程式のうち，解の1つが $- 2$ であるものはどれですか。

㋐　 $x ² - 2 = 0$

㋑　 $x ² - x = 6$

㋒　 $(x - 5) (x + 2) = 0$

㋓　 $(x - 2) ² = 0$

２　次の方程式を解きなさい。

⑴　 $4 x ² = 25$

⑵　 $(x - 5) ² = 6$

⑶　 $(2 x - 1) ² = 64$

⑷　 $x ² + 8 x + 12 = 0$

⑸　 $x ² - x - 30 = 0$

⑹　 $x ² - 7 x + 1 = 0$

⑺　 $4 x ² - 28 x + 24 = 0$

⑻　 $2 x ² - 6 x + 3 = 0$

⑼　 $x ² + 5 = 10 x - 20$

⑽　 $21 x = 3 x ²$

３　2次方程式 $x ² + a x - 15 = 0$ の解の1つが3のとき，aの値を求めなさい。また，もう1つの解を求めなさい。

４　ある自然数を2乗するところを，誤って2倍してしまったため，答えが35小さくなりました。このとき，次の問いに答えなさい。

⑴　もとの自然数をxとして，方程式をつくりなさい。

⑵　⑴でつくった方程式を解き，もとの自然数を求めなさい。

５　右の図のように，1辺15mの正方形の土地に，幅が一定の道と花だんをつくります。花だんの面積を144m²にするには，道の幅を何mにすればよいですか。

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<3年p.97>

　応用

１　次の方程式を解きなさい。

⑴　 $x ² + 3 x = 4 (x + 3)$

⑵　 $(x - 4) ² = 2 (x - 5) + 2$

⑶　 $\frac{1}{3} x (x - 2) = 2$

⑷　 $x ² + \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = 0$

２　次の㋐，㋑の2次方程式は，どちらも解の1つが2です。このとき，下の問いに答えなさい。

㋐　 $x ² - 4 a x + 3 b = 0$

㋑　 $x ² + a x - 2 b = 0$

⑴　a，bの値を求めなさい。
⑵　㋐，㋑のもう1つの解を，それぞれ求めなさい。

３　連続する3つの自然数があります。もっとも小さい数ともっとも大きい数の積から，中央の数の2倍をひいた差は47になります。この3つの自然数を求めなさい。

４　横が縦より3cm長い長方形の厚紙があります。この厚紙の4すみから，1辺2cmの正方形を切り取って，ふたのない箱をつくったところ，その容積が80cm³になりました。もとの厚紙の縦の長さを求めなさい。

５　1辺10cmの正方形ABCDがあります。点Pは，秒速1cm で辺AB上をAからBまで動きます。また，点Qは，点Pと同時に出発して，点Pと同じ速さで辺BC上をBからCまで動きます。 $△ P B Q$ の面積が8cm²になるのは，点 P，Q が出発してから何秒後ですか。

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<3年p.98>

3章のまとめの問題　活用

１　多角形に何本の対角線が引けるか調べています。次の問いに答えなさい。

⑴　四角形，五角形，六角形，七角形は，それぞれ対角線が何本引けるか，次の図を使って求めなさい。

⑵　n角形では， $\frac{1}{2} n (n - 3)$ 本の対角線を引くことができます。
1つの頂点から何本の対角線が引けるかを考えて，この $\frac{1}{2} n (n - 3)$ の式の意味を説明しなさい。
⑶　八角形では，対角線が何本引けますか。また，対角線が35本引けるのは何角形ですか。⑵の式を使って求めなさい。

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<3年p.99>

深めよう

2次方程式のおもしろい解き方　発展

方程式 $x ² + 6 x - 5 = 0$ を解いてみましょう。
この2次方程式を， $(x + a) (x + b) = 0$ の形にできれば，解は $x = - a$ ， $x = - b$ と求められます。 $(x + a) (x + b) = 0$ の左辺を展開すると， $x ² + (a + b) x + a b = 0$ となり，次の2つの式を満たすa，bを求めれば $x ² + 6 x - 5 = 0$ を因数分解できます。

\begin{array}{r} {\begin{matrix} a + b = 6 \dots \dots ① \\ a b = - 5 \dots \dots ② \end{matrix} \end{array}

この3は， $a + b = 6$ の6の半分だね。

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ここで，①に着目し，a，bを次のようにおきかえます。

\begin{array}{r} {\begin{matrix} a = 3 + m \dots \dots ③ \\ b = 3 - m \dots \dots ④ \end{matrix} \end{array}

この③，④を②に代入すると， $(3 + m) (3 - m) = - 5$ となります。
　これをmについて解くと，次のようになります。

\begin{array}{rcl} (3 + m) (3 - m) & = & - 5 \\ 9 - m ² & = & - 5 \\ m ² & = & 14 \\ m & = & \pm \sqrt{14} \end{array}

mは $+ \sqrt{14}$ と $- \sqrt{14}$ がありますが，aとbの値が入れかわるだけなので，どちらを使っても同じになります。ここでは $+ \sqrt{14}$ の方を③，④に代入します。

\begin{array}{r} {\begin{cases} a = 3 + \sqrt{14} \\ b = 3 - \sqrt{14} \end{cases} \end{array}

以上より，方程式 $x ² + 6 x - 5 = 0$ は， ${x + (3 + \sqrt{14})} {x + (3 - \sqrt{14})} = 0$ と変形できます。したがって，方程式の解は，次のようになります。
$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

①　上で求めた解が正しいかどうかを，解の公式を使って確かめてみましょう。

②　次の方程式を，上の方法で解いてみましょう。

⑴　 $x ² + 4 x - 1 = 0$

⑵　 $x ² + 2 x - 2 = 0$

３章のまとめの問題　解答　P.302〜303　　基本

応用

3章のまとめの問題　活用

深めよう

2次方程式のおもしろい解き方　発展

＜ミライ教科書３学年分もくじ＞

＜スグラパ＞

＜ドリルまとめ＞

３章のまとめの問題 解答 P.302〜303 基本

応用

3章のまとめの問題 活用

深めよう

2次方程式のおもしろい解き方 発展

＜ミライ教科書３学年分もくじ＞

＜スグラパ＞

＜ドリルまとめ＞

３章のまとめの問題　解答　P.302〜303　　基本

　応用

3章のまとめの問題　活用

2次方程式のおもしろい解き方　発展