教科書アドバイザー「マスマス！」

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<3年p.54>

2節　根号をふくむ式の計算

根号をふくむ数の計算はできるの？

根号をふくむ数の乗法や除法，加法や減法の計算のしかたを，面積や長さをもとにして考えてみましょう。

【１】　[mathjax]\(\sqrt{2} \times \sqrt{5}\)がいくつになるか話し合ってみましょう。

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[mathjax]\(\sqrt{2} \times \sqrt{5}\)は，これまでの計算と同じように考えると，[mathjax]\(\sqrt{10}\)になるのかな。

【２】　[mathjax]\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)がいくつになるか話し合ってみましょう。

[mathjax]\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)は，これまでの計算と同じように考えると，[mathjax]\(\sqrt{5}\)になるのかな。

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次の課題へ！
根号をふくむ数の計算も，これまでの数と同じようにできるのかな？
P.54，59

１　根号をふくむ式の乗法・除法

　根号をふくむ数の積や商

Q Question

右の図は，縦[mathjax]\(\sqrt{2}\)cm，横[mathjax]\(\sqrt{5}\)cmの長方形です。
[mathjax]\(\sqrt{2}\)，[mathjax]\(\sqrt{5}\)の近似値から，およその面積を求めてみましょう。また，その値と[mathjax]\(\sqrt{10}\)の近似値を比べてみましょう。

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[mathjax]\(\sqrt{2}=1.414\)，[mathjax]\(\sqrt{5}=2.236\)で考えてみればいいね。。

図や近似値を使って確かめられるかな。

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見方・考え方　

およその値で考えられるかな。

　目標　▷　根号をふくむ式の乗法・除法を考えよう。

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<3年p.55>

[mathjax]\(\sqrt{2} \times \sqrt{5}\)と[mathjax]\(\sqrt{2 \times 5}\)が等しいといえるか，確かめてみよう。
[mathjax]\(\sqrt{2} \times \sqrt{5}\)は，正の数であり，2乗すると次のようになる。

[mathjax]\(\begin{eqnarray} (\sqrt{2} \times \sqrt{5})² &=& (\sqrt{2} \times \sqrt{5}) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{5})\\ &=& \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}\\ &=& (\sqrt{2})² \times (\sqrt{5})²\\ &=& 2 \times 5 \end{eqnarray}\)

[mathjax]\(\begin{eqnarray} (\sqrt{2} \times \sqrt{5})² &=& 2 \times 5\\[5pt] \mathsf{正の平方根} & \downarrow&\\ \sqrt{2} \times \sqrt{5}\phantom{0} &=&\sqrt{2 \times 5}\end{eqnarray}\)

したがって，[mathjax]\(\sqrt{2} \times \sqrt{5}\)は，[mathjax]\(2 \times 5\)の正の平方根である。すなわち，
[mathjax]\(\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{2 \times 5}\)

　問１　　[mathjax]\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\)であることを，上と同じようにして確かめなさい。

[mathjax]\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)は[mathjax]\(\sqrt{2} \div \sqrt{3}\)のことだね。

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一般に，根号をふくむ数の積や商について，次のことが成り立つ。

根号をふくむ数の積と商
a，bが正の数のとき，次の式が成り立つ。
[mathjax]\(\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{ab}\)，[mathjax]\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)

　注意　　[mathjax]\(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\)は，[mathjax]\(\sqrt{a}\sqrt{b}\)と表すこともある。

　例１　　

⑴

[mathjax]\(\begin{eqnarray} \sqrt{3} \times \sqrt{7} &=& \sqrt{3 \times 7}\\ &=& \sqrt{21} \end{eqnarray}\)

⑵

[mathjax]\(\begin{eqnarray} \sqrt{45} \div \sqrt{3} &=& \dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{3}}\\ &=& \sqrt{\dfrac{45}{3}}\\ &=& \sqrt{15} \end{eqnarray}\)

　問２　　次の計算をしなさい。

⑴　[mathjax]\(\sqrt{3} \times \sqrt{5}\)

⑵　[mathjax]\(\sqrt{13} \times \sqrt{7}\)

⑶　[mathjax]\(\sqrt{6}\sqrt{11}\)

⑷　[mathjax]\(\sqrt{6} \div \sqrt{3}\)

⑸　[mathjax]\(\sqrt{35} \div \sqrt{5}\)

⑹　[mathjax]\(\sqrt{150} \div \sqrt{30}\)

<3年p.56>

　根号をふくむ数の変形

[mathjax]\(a \times \sqrt{b}\) や [mathjax]\(\sqrt{b} \times a\) は，乗法の記号 [mathjax]\(\times\) を省いて，ふつう [mathjax]\(a\sqrt{b}\) と表す。

　例２　　

[mathjax]\(\begin{eqnarray} 2 \sqrt{5} &=& 2 \times \sqrt{5}\\ &=& \sqrt{2²} \times \sqrt{5}\\ &=& \sqrt{2² \times 5}\\ &=& \sqrt{20} \end{eqnarray}\)

a，bが正の数のとき，
[mathjax]\(a\sqrt{b}=\sqrt{a² \times b}\)

　問３　　次の数を[mathjax]\(\sqrt{a}\) の形に表しなさい。

⑴　[mathjax]\(2\sqrt{3}\)

⑵　[mathjax]\(3\sqrt{2}\)

⑶　[mathjax]\(4\sqrt{5}\)

⑷　[mathjax]\(3\sqrt{7}\)

　例３　　

⑴

[mathjax]\(\begin{eqnarray} & & \sqrt{24}\\ &=& \sqrt{2² \times 6}\\ &=& \sqrt{2²} \times \sqrt{6}\\ &=& 2\sqrt{6} \end{eqnarray}\)

⑵

[mathjax]\(\begin{eqnarray} & & \sqrt{180}\\ &=& \sqrt{2² \times 3² \times 5}\\ &=& \sqrt{2²} \times \sqrt{3²} \times \sqrt{5}\\ &=& 2 \times 3 \times \sqrt{5}\\ &=& 6\sqrt{5} \end{eqnarray}\)

ふりかえり　▷ 1年

[mathjax]\(\begin{array}{r} \\ \underline{2\big{)}\phantom{0}180} \\ \underline{2\big{)}\phantom{00}90} \\ \underline{3\big{)}\phantom{00}45} \\ \underline{3\big{)}\phantom{00}15} \\ \ 5 \\ \end{array}\)

→
[mathjax]\(180=2² \times 3² \times 5\)

根号の中の数がある数aの2乗を因数にもっているとき，[mathjax]\(a \sqrt{b}\)の形に変形して，根号の中を簡単な数にすることができる。

　問４　　例3にならって，次の数を根号の中ができるだけ小さい自然数になるように，[mathjax]\(a \sqrt{b}\)の形に表しなさい。

⑴　[mathjax]\(\sqrt{28}\)

⑵　[mathjax]\(\sqrt{54}\)

⑶　[mathjax]\(\sqrt{48}\)

⑷　[mathjax]\(\sqrt{300}\)

　例４　　

⑴

[mathjax]\(\begin{eqnarray} \sqrt{\dfrac{3}{4}} &=& \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}\)

⑵

[mathjax]\(\begin{eqnarray} \sqrt{0.07} &=& \sqrt{\dfrac{7}{100}}\\ &=& \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{100}}\\ &=& \dfrac{\sqrt{7}}{10} \end{eqnarray}\)

　問５　　例4にならって，次の数を変形しなさい。

⑴　[mathjax]\(\sqrt{\dfrac{2}{9}}\)

⑵　[mathjax]\(\sqrt{\dfrac{13}{25}}\)

⑶　[mathjax]\(\sqrt{0.02}\)

⑷　[mathjax]\(\sqrt{0.37}\)

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<3年p.57>

　分母の有理化

　例５　　

⑴

[mathjax]\(\begin{eqnarray} & & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ &=& \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}\)

⑵

[mathjax]\(\begin{eqnarray} & & \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ &=& \dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\\ &=& \dfrac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray}\)

⑶

[mathjax]\(\begin{eqnarray} & & \dfrac{3}{2\sqrt{6}}\\ &=& \dfrac{3 \times \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \times \sqrt{6}}\\ &=& \dfrac{3 \times \sqrt{6}}{2 \times 6} &=& \dfrac{\sqrt{6}}{4} \end{eqnarray}\)

例5のように，分子と分母に同じ数をかけて，分母に根号をふくまない形にすることを，分母を有理化するという。

　問６　　次の数の分母を有理化しなさい。

⑴　[mathjax]\(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

⑵　[mathjax]\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\)

⑶　[mathjax]\(\dfrac{6}{5\sqrt{3}}\)

⑷　[mathjax]\(\dfrac{12}{\sqrt{45}}\)

　問７　　[mathjax]\(\sqrt{3}=1.732\)として，[mathjax]\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)の値を求めなさい。

分母を有理化すると，近似値を求めやすくなることがある。

　根号をふくむ式の乗法・除法

　例６　　

[mathjax]\(\begin{eqnarray} 3 \sqrt{2}\times \sqrt{6} &=& 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{6}\\ &=& 3 \times \sqrt{12}\\ &=& 3 \times 2 \sqrt{3}\\ &=& 6 \sqrt{3} \end{eqnarray}\)

根号をふくむ数どうしをかける

根号の中を小さくする

整数どうしをかける

　注意　　計算の結果は，根号の中をできるだけ小さい自然数にしておく。

　問８　　拓真さんは，例6の[mathjax]\(3\sqrt{2} \times \sqrt{6}\)の計算を，右のように行いました。拓真さんの考え方を説明しなさい。

[mathjax]\(\begin{eqnarray} 3 \sqrt{2} \times \sqrt{6} &=& 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{6}\\ &=& 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}\\ &=& 3 \times 2 \times \sqrt{3}\\ &=& 6\sqrt{3} \end{eqnarray}\)

　問９　　次の計算をしなさい。

⑴　[mathjax]\(5 \sqrt{3} \times \sqrt{5}\)

⑵　[mathjax]\(4 \sqrt{2} \times 6 \sqrt{7}\)

⑶　[mathjax]\(\sqrt{6} \times 4 \sqrt{3}\)

⑷　[mathjax]\(2 \sqrt{2} \times (-3 \sqrt{10})\)

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<3年p.58>

　例７　　

⑴

[mathjax]\(\begin{eqnarray} 6\sqrt{15} \div 2\sqrt{3} &=& \dfrac{6\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} \\ &=& 3 \times \sqrt{\dfrac{15}{3}} \\ &=& 3\sqrt{5} \end{eqnarray}\)

⑵

[mathjax]\(\begin{eqnarray} \sqrt3 \div \sqrt5 &=& \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \\ &=& \dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} \\ &=& \dfrac{\sqrt{15}}{5} \end{eqnarray}\)

　注意　　計算の結果の分母に根号があるときは，分母を有理化しておく。

　問１０　　次の計算をしなさい。

⑴　[mathjax]\(8 \sqrt{14} \div \sqrt{7}\)

⑵　[mathjax]\((-12 \sqrt{6}) \div 3 \sqrt{2}\)

⑶　[mathjax]\(2 \sqrt{10} \div \sqrt{6}\)

⑷　[mathjax]\(\dfrac{3 \sqrt{2}}{8} \div \dfrac{\sqrt{5}}{4}\)

やってみよう
計算力を高めよう3-1
P.67

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　平方根の近似値

Q Question

次の数の近似値を4桁まで求めてみましょう。また，その結果を見て気づいたことをいいましょう。

[mathjax]\(\begin{array}{lr}\sqrt{0.03}\cdot\cdot\cdots\cdots\boxed{\phantom{0000}}\ &\sqrt{0.3}\cdots\cdots\cdots\boxed{\phantom{0000}}\\ \sqrt{3}\cdot\cdot\cdots\cdots\cdots\boxed{\phantom{0000}} &\sqrt{30}\cdots\cdots\cdots\boxed{\phantom{0000}}\\ \sqrt{300}\cdots\cdots\cdots\boxed{\phantom{0000}} &\sqrt{3000}\cdots\cdots\cdot\boxed{\phantom{0000}}\end{array}\)

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近似値が似ているものがあるけど，共通することがあるのかな。

見方・考え方　

いろいろな数で調べて，どんな性質があるか見つけられるかな。

次のように考えると，根号の中の数の小数点の位置が2桁移ると，その数の平方根の小数点の位置は，同じ向きに1桁移ることがわかる。

[mathjax]\(\begin{eqnarray} & & \sqrt{300} \\ &=& \sqrt{3} \times \sqrt{100} \\ &=& 10\sqrt{3} \end{eqnarray}\)

[mathjax]\(\begin{eqnarray} & & \sqrt{0.03} \\ &=& \sqrt{3} \times \sqrt{\dfrac{1}{100}} \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{10} \end{eqnarray}\)

　問１１　　[mathjax]\(\sqrt{5}=2.236\)，[mathjax]\(\sqrt{50}=7.071\)として，次の数の近似値を求めなさい。

⑴　[mathjax]\(\sqrt{500}\)

⑵　[mathjax]\(\sqrt{5000}\)

⑶　[mathjax]\(\sqrt{0.5}\)

⑷　[mathjax]\(\sqrt{0.05}\)

どんなことがわかったかな

根号をふくむ式の乗法や除法は，根号の中の数をかけたりわったりして計算することができます。

2節　根号をふくむ式の計算

根号をふくむ数の計算はできるの？

１　根号をふくむ式の乗法・除法

根号をふくむ数の積や商

Q Question

根号をふくむ数の変形

分母の有理化

根号をふくむ式の乗法・除法

平方根の近似値

Q Question

＜ミライ教科書３学年分もくじ＞

＜スグラパ＞

＜ドリルまとめ＞

2節 根号をふくむ式の計算

根号をふくむ数の計算はできるの？

１ 根号をふくむ式の乗法・除法

根号をふくむ数の積や商

Q Question

根号をふくむ数の変形

分母の有理化

根号をふくむ式の乗法・除法

平方根の近似値

Q Question

＜ミライ教科書３学年分もくじ＞

＜スグラパ＞

＜ドリルまとめ＞

2節　根号をふくむ式の計算

１　根号をふくむ式の乗法・除法

　根号をふくむ数の積や商

　根号をふくむ数の変形

　分母の有理化

　根号をふくむ式の乗法・除法

　平方根の近似値