<3年p.43>
２章 Chapter ２ 平方根
1節 平方根
2節 根号をふくむ式の計算
いろいろな大きさの正方形だね。面積は，いくつなのかな。
それぞれの正方形の1辺の長さがわかればいいね。
面積が1cm²と4cm²の正方形の1辺の長さは1cmと2cmだね。
面積が2cm²や5cm²の正方形の1辺の長さはいくつだろう。
？ どんな数といえるかな？
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1節 平方根
正方形の1辺の長さは？
正方形の紙を次のように切っていったときにできた正方形について考えてみましょう。
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【１】 前ページの正方形㋐，㋒の面積を求めましょう。また，それぞれの正方形の1辺の長さを求めましょう。
【２】 前ページの正方形㋑，㋓の面積は，いくらになるでしょうか。また，正方形の1辺の長さを求められるか考えてみましょう。
正方形㋑の面積は，正方形㋐の面積の半分になっているね。
正方形㋑の面積と同じように考えれば，正方形㋓の面積もわかるね。
面積がわかっているのに，1辺の長さがわからないよ。
1辺の長さを測ってみたらどうかな。
【３】 前ページの正方形㋑，㋓の1辺の長さを，それぞれ測ってみましょう。また，測った長さから正方形㋑，㋓の面積を計算で求め， 2 で考えた面積と比べてみましょう。
正方形㋑，㋓の面積は整数値になるね。でも，測った1辺の長さを2乗してもぴったり同じにならないよ。
次の課題へ！
面積が2cm²や8cm²になる正方形の1辺の長さは，どのくらいになるのかな？
P.46
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１ 平方根
根号
Q Question
面積が2cm²の正方形の1辺の長さをxcmとすると，[mathjax]\(x²=2\)という式が成り立ちます。
このxにあてはまる数は，「2乗すると2になる正の数」です。どのくらいの大きさでしょうか。
1cmと2cmの間になりそうだね。
正方形の1辺の長さを正確に測れるかな。
見方・考え方
具体的な数を使って，考えられるかな。
目標 ▷ 2乗すると2になる数は，どのくらいの大きさになるのか調べよう。
Q のxの値をくわしく調べると，[mathjax]\(1.4²=1.96\)，[mathjax]\(1.5²=2.25\) であるから，
[mathjax]\(1.4 \lt x \lt 1.5\)
[mathjax]\(1.41²=1.9881\)，[mathjax]\(1.42²=2.0164\)であるから，
[mathjax]\(1.41 \lt x \lt 1.42\)
となり，xの値の小数第一位は4，小数第二位は1であることがわかる。
問 １ 上のようにして，【Q】 のxの値の小数第三位を求めなさい。
上のようにして計算していくと， Q のxの値は，
1.414213562373095048801688724209…
となり，限りなく続く小数となる。
「2乗すると2になる正の数」を記号[mathjax]\(\sqrt{\phantom{0}}\)を使って[mathjax]\(\sqrt{2}\)と表す。
この記号[mathjax]\(\sqrt{\phantom{0}}\)を根号といい，[mathjax]\(\sqrt{2}\)を「ルート2」と読む。
面積が2cm²の正方形の1辺の長さは，[mathjax]\(\sqrt{2}\)cmと表すことができる。
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近似値
長さや重さなどを測定したとき，真の値と多少のちがいがあっても，それに近い値が得られる。このように，真の値に近い値を近似値という。
たとえば，円周率として使われる[mathjax]\(3.14\)は，円周率[mathjax]\(\pi\)の近似値である。
[mathjax]\(\bbox[lemonchiffon, 5pt]{\sqrt{2}}\)の近似値は，電卓の[mathjax]\(\bbox[lemonchiffon, 5pt]{\sqrt{\phantom{0}}}\)キーを使って求めることもできる。[mathjax]\(2 \sqrt{\phantom{0}}\)の順に押せば，右のように表示される。
また，近似値として小数第三位までの値が必要なときは，小数第四位を四捨五入すればよい。
問 ２ 電卓の[mathjax]\(\bbox[lemonchiffon, 5pt]{\sqrt{\phantom{0}}}\)キーを使って，次の数の近似値を小数第三位まで求めなさい。
⑴ [mathjax]\(\sqrt{3}\)
⑵ [mathjax]\(\sqrt{7}\)
⑶ [mathjax]\(\sqrt{10}\)
⑷ [mathjax]\(\sqrt{30}\)
2乗するとaになる数
例 １ 「2乗すると9になる数」は，[mathjax]\(x²=9\)を成り立たせるxの値である。
[mathjax]\(3² = 9\)，[mathjax]\((-3)² = 9\)
したがって，2乗すると9になる数は，正の数3と負の数-3の2つである。
ある数xを2乗するとaになるとき，すなわち，
[mathjax]\(x²=a\)
であるとき，xをaの平方根という。
したがって，3も[mathjax] \(-3\)も9の平方根である。
問 ３ 次の数の平方根を求めなさい。
⑴ 1
⑵ 16
⑶ 81
⑷ [mathjax]\(\dfrac{9}{100}\)
⑸ [mathjax]\(0.25\)
aが正の数のとき，aの平方根を，根号を使って，次のように表す。
正の方を[mathjax]\(\sqrt{a}\)，負の方を[mathjax]\(-\sqrt{a}\)
例 ２ 2の平方根は，[mathjax]\(\sqrt{2}\)と[mathjax]\(-\sqrt{2}\)である。
注意 [mathjax]\(\sqrt{2}\)と[mathjax]\(-\sqrt{2}\)をまとめて， [mathjax]\(\pm \sqrt{2}\)と表すことがある。[mathjax]\( \pm \sqrt{2}\)は，「プラスマイナス ルート2」と読む。
[mathjax]\( \sqrt{2} ＝ 1.414\cdots\)
[mathjax]\(-\sqrt{2} ＝ -1.414\cdots\)
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問 ４ 次の数の平方根を，根号を使って表しなさい。
⑴ 3
⑵ 7
⑶ [mathjax]\(0.8\)
⑷ [mathjax]\(\dfrac{5}{3}\)
どんな数を2乗しても負の数にならないから，負の数には平方根はない。また，2乗すると0になる数は0だけである。
平方根
① 正の数の平方根は正，負の2つあり，その絶対値は等しい。
② 0の平方根は0だけである。
9の平方根は，根号を使うと[mathjax]\(\sqrt{9}\)，[mathjax]\(-\sqrt{9}\)と表すことができるが，これらはそれぞれ，[mathjax] \(3\)，[mathjax] \(-3\)のことである。このように，根号を使って表した数の中には，根号を使わずに表すことのできる数がある。
また，0の平方根は0であるから，[mathjax]\(\sqrt{0}=0\)である。
例 ３
⑴
⑵
問 ５ 次の数を，根号を使わずに表しなさい。
⑴ [mathjax]\(\sqrt{4}\)
⑵ [mathjax]\(-\sqrt{64}\)
⑶ [mathjax]\(\sqrt{\dfrac{4}{9}}\)
⑷ [mathjax]\(\sqrt{(-5)²}\)
aが正の数のとき，[mathjax]\(\sqrt{a}\)と[mathjax]\(-\sqrt{a}\)はaの平方根だから，どちらも2乗するとaになる。
[mathjax]\((\sqrt{a})² =a，(-\sqrt{a})² =a\)
問 ６ 次の数を求めなさい。
⑴ [mathjax]\((\sqrt{7})²\)
⑵ [mathjax]\((-\sqrt{10})²\)
⑶ [mathjax]\((\sqrt{0.5})²\)
⑷ [mathjax]\(\require{physics}\left(-\sqrt{\dfrac{5}{6}}\right)^{2}\)
どんなことがわかったかな
aが正の数のとき，aの平方根を[mathjax]\(\sqrt{a}\) ，[mathjax]\(-\sqrt{a}\)と表すことができます。
次の課題へ！
これまでに学んだ数と同じように，平方根の大小も比べられるのかな？また，どんなところがちがうのかな？
P.49，51
