<2年p.162>
2節 四角形
どんな図形ができるかな？
2枚のふせんを重ねたとき，重なった部分は，どんな図形になるでしょうか。
【１】 2枚のふせんを，下の写真のように重ねます。重なった部分は，どんな図形になるでしょうか。
ふせんの幅は一定だから，向かい合う辺は平行だね。
次の課題へ！
重なった部分の形は，どうして平行四辺形になるのかな？
P.162
１ 平行四辺形の性質
Q Question
平行四辺形ABCDを，対角線の交点Oを回転の中心として点対称移動します。次の⑴，⑵について，巻末③の図を切り取って右の図に重ね，確かめてみましょう。
⑴ [mathjax]\(\triangle ABD\)は，もとのどの三角形とぴったり重なるでしょうか。
⑵ このほかに，ぴったりと重なる三角形はどれとどれでしょうか。
平行四辺形はどんな四角形だったかな。
点対称移動してぴったり重なることから，いろいろな性質が見つけられるかな。
見方・考え方
平行四辺形にはどんな性質があるか見つけられるかな。
<2年p.163>
目標 ▷ 特別な四角形として，平行四辺形の性質について調べよう。
四角形の向かい合う辺を対辺，向かい合う角を対角という。平行四辺形は，次のように定義される。
定義
2組の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形という。
平行四辺形[mathjax]\(ABCD\)を記号▱を使って▱ABCDと表し，「平行四辺形ABCD」と読む。
問 １ 前ページの【Q】から，平行四辺形の辺や角，対角線には，それぞれどんな性質があるといえますか。
「平行四辺形では，2組の対辺がそれぞれ等しい」ということがらは，右の図を使うと，次のように表すことができる。
四角形ABCDで，
(仮定) [mathjax]\(AB/\!/DC\)，[mathjax]\(AD/\!/BC\)
(結論) [mathjax]\(AB=DC\)，[mathjax]\(AD=BC\)
例 １ ▱ABCDで，[mathjax]\(AB=DC\)，[mathjax]\(AD=BC\)であることを証明しなさい。
証明
対角線BD を引く。
[mathjax]\(\triangle ABD\) と[mathjax]\(\triangle CDB\)において，
平行線の錯角は等しいから，
[mathjax]\(AB/\!/DC\)より，[mathjax]\(\angle ABD=\angle CDB\cdots\cdots\text{①}\)
[mathjax]\(AD/\!/BC\)より，[mathjax]\( \angle ADB=\angle CBD\cdots\cdots\text{②}\)
また，[mathjax]\(\hspace{40pt}BD\)は共通[mathjax]\(\hspace{35pt}\cdots\cdots\text{③}\)
①， ②， ③より， 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，
[mathjax] \(\hspace{64pt}\triangle ABD\equiv \triangle CDB\)
したがって， [mathjax]\(AB=DC\)，[mathjax]\( AD=BC\)
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前ページの例1の証明の中で示された，[mathjax]\(\triangle ABD\equiv \triangle CDB\)から，[mathjax]\(\angle A=\angle C\)であることも導くことができる。
問 ２ 前ページの例1の▱ABCDで，[mathjax]\(\angle ABC=\angle CDA\)であることを証明しなさい。
問 ３ ▱ABCDで，2つの対角線の交点をOとするとき，[mathjax]\(AO=CO\)，[mathjax]\(BO=DO\)であることを証明しなさい。
前ページの例1で証明したことがらも使えるね。
これまで調べたことは，次のように，定理としてまとめることができる。
定理
平行四辺形の性質
平行四辺形には，次の性質がある。
① 2組の対辺はそれぞれ等しい。
② 2組の対角はそれぞれ等しい。
③ 2つの対角線はそれぞれの中点で交わる。
問 ４ 次の図の▱ABCDで，x，yの値を求めなさい。
⑴
⑵
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平行四辺形の性質を使って，図形の性質を証明してみよう。
例 ２ ▱ABCDの対角線AC上に，[mathjax]\(AE=CF\)となるように点E，Fをとるとき，[mathjax]\(BE=DF\)であることを証明しなさい。
証明
[mathjax]\(\triangle ABE\) と[mathjax]\(\triangle CDF\) において，
仮定から， [mathjax]\(\hspace{40pt}AE=CF\hspace{18pt}\cdots\cdots\text{①}\)
平行線の錯角は等しいから，
[mathjax]\(AB/\!/DC\) より， [mathjax]\(\angle BAE=\angle DCF \ \cdots\cdots\text{②}\)
平行四辺形の対辺は等しいから，
[mathjax]\(\hspace{82pt}AB = CD\hspace{18pt}\cdots\cdots\text{③}\)
①， ②， ③より， ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
[mathjax] \(\hspace{66pt}\triangle ABE\equiv \triangle CDF\)
したがって， [mathjax]\(\hspace{30pt}BE=DF\)
問 ５ 例2で証明した[mathjax]\(\triangle ABE\equiv\triangle CDF\)から，[mathjax]\(BE=DF\)のほかにどんなことがわかりますか。また，その理由を説明しなさい。
問 ６ ▱ABCDの2つの対角線の交点Oを通る直線を引き，AD，BCとの交点をそれぞれP，Qとします。次の問いに答えなさい。
⑴ 図をかきなさい。
⑵ 線分POと長さの等しい線分はどれですか。
⑶ ⑵で調べたことがらを証明しなさい。
どんなことがわかったかな
三角形の合同条件を利用すると，平行四辺形の定義から，平行四辺形の性質を導くことができます。
次の課題へ！
どんな条件のときに平行四辺形になるといえるのかな？
P.166
<2年p.166>
２ 平行四辺形になるための条件
Q Question
拓真さんは，段ボール箱をたたんでしばろうとしているとき，おもしろいことに気づきました。いろいろ動かしても，右のように，開いている部分の四角形の対辺がいつでも平行になっているように見えます。対辺がいつでも平行になっていることを証明することはできるでしょうか。
ほんとうに，いつも平行なのかな。
対辺の長さは，それぞれ等しいね。
見方・考え方
根拠を明らかにして，説明できるかな。
目標 ▷ 四角形が，どんなときに平行四辺形になるといえるか考えよう。
【Q】の段ボール箱を右の図のように考えると，四角形ABCDとみることができる。[mathjax]\(AB=DC\)，[mathjax]\(AD=BC\)と考えると，2組の対辺がそれぞれ等しい四角形が平行四辺形であると示すことができれば，Qの理由を説明することができる。
問 １ 四角形ABCDにおいて，次のことがらの仮定と結論をいいなさい。
「2組の対辺がそれぞれ等しい四角形は，平行四辺形である」
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例 １ 四角形ABCDで，[mathjax]\(AB=DC\)，[mathjax]\(AD=BC\)ならば，[mathjax]\(AB/\!/DC\)，[mathjax]\(AD/\!/BC\)であることを証明しなさい。
考え方 錯角が等しければ，2直線は平行であることを利用する。錯角が等しいことをいうために，補助線として対角線BDを引き，[mathjax]\(\triangle ABD\)と[mathjax]\(\triangle CDB\)が合同であることを証明する。
証明
対角線BD を引く。
[mathjax]\(\triangle ABD\)と[mathjax]\(\triangle CDB\)において，
仮定から，[mathjax]\(\hspace{40pt}AB=CD\quad\cdots\cdots\text{①}\)
[mathjax]\(\hspace{81pt}AD=CB\quad\cdots\cdots\text{②}\)
また，[mathjax]\(\hspace{54pt}BD\)は共通[mathjax]\(\hspace{17pt}\cdots\cdots\text{③}\)
①， ②， ③より， 3 組の辺がそれぞれ等しいから，
[mathjax]\(\hspace{60pt}\triangle ABD\equiv \triangle CDB\)
したがって，[mathjax]\(\hspace{10pt}\angle ABD=\angle CDB\)
錯角が等しいから，[mathjax]\(AB/\!/DC\)
同様にして，[mathjax]\(\hspace{24pt}AD/\!/BC\)
注意 例1の証明で，「同様にして」というのは，前に述べたことと同じ手順で証明できるという意味である。
例1の証明は，平行四辺形の性質❶の逆になっているね。ほかの性質の逆も正しいのかな。
問 ２ 四角形ABCDで，[mathjax]\(\angle A=\angle C\)，[mathjax]\(\angle B=\angle D\)ならば，[mathjax]\(AB/\!/DC\)，[mathjax]\(AD/\!/BC\)であることを，次の⑴〜⑷を順に示し，証明しなさい。
⑴ [mathjax]\(\angle A+\angle B=180^{\circ}\)
⑵ BAを延長してBEとするとき，[mathjax]\(\angle EAD=\angle B\)
⑶ [mathjax]\(AD/\!/BC\)
⑷ [mathjax]\(AB/\!/DC\)
<2年p.168>
問 ３ 四角形ABCDの2つの対角線の交点をOとするとき，[mathjax]\(AO=CO\)，[mathjax]\(BO=DO\)ならば，[mathjax]\(AB/\!/DC\)，[mathjax]\(AD/\!/BC\)であることを証明しなさい。
問 ４ 四角形ABCDで，[mathjax]\(AD/\!/BC\)，[mathjax]\(AD=BC\)ならば，四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい。
これまで調べたことは，次のようにまとめることができる。
平行四辺形になるための条件
四角形は，次のどれか1つが成り立てば，平行四辺形である。
問 ５ 四角形ABCDの2つの対角線の交点をOとするとき，次のような条件の場合，四角形ABCDは平行四辺形であるといえますか。
⑴ [mathjax]\(AB/\!/DC\) ，[mathjax]\(AD=BC\)
⑵ [mathjax]\(AB/\!/DC\)，[mathjax]\(\angle A=\angle C\)
⑶ [mathjax]\(AB/\!/DC\) ，[mathjax]\(OA=OC\)
⑷ [mathjax]\(\angle A=\angle C\)，[mathjax]\(OA=OC\)
問 ６ 162ページの【１】で，2枚のふせんを右のように重ねたとき，重なった部分の四角形はどんな四角形になりますか。また，その理由を説明しなさい。
<2年p.169>
平行四辺形になるための条件を使って，いろいろな問題を考えてみよう。
例 ２ 右の図のように，▱ABCDの対角線AC上に，[mathjax]\(AE=CF\)となるように2点E，Fをとるとき，四角形EBFDは平行四辺形であることを証明しなさい。
証明
2つの対角線の交点をOとする。
平行四辺形の2つの対角線はそれぞれの中点で交わるから，
[mathjax]\(\hspace{78pt}BO=DO\quad\cdots\cdots\text{①}\)
[mathjax]\(\hspace{78pt}AO=CO\quad\cdots\cdots\text{②}\)
仮定から， [mathjax]\(\hspace{34pt}AE=CF\quad\cdots\cdots\text{③}\)
②， ③から，[mathjax]\(AO-AE=CO-CF\)
[mathjax]\(EO=AO-AE\)， [mathjax]\(FO=CO-CF\) であるから，
[mathjax]\(\hspace{76pt}EO=FO\quad\cdots\cdots\text{④}\)
①， ④より， 2つの対角線がそれぞれの中点で交わるから，
四角形EBFDは平行四辺形である。
問 ７ 例2を，前ページの「平行四辺形になるための条件」の②を使って証明しなさい。
問 ８ ▱ABCDの対辺AB，DCの中点をそれぞれM，Nとするとき，四角形MBNDは平行四辺形であることを証明しなさい。
例2や問8の条件を変えることで，新しい問題がつくれないかな。
156ページの二等辺三角形のときのトライの考え方を参考にしてみよう。
どんなことがわかったかな
平行四辺形になるための条件をもとにすると，四角形が平行四辺形かどうかを証明することができます。
次の課題へ！
正三角形は二等辺三角形とみることができるけど，正方形や長方形もほかの図形としてみることができるのかな？
P.170
