<1年p.184>
３ 作図の利用
平行な直線の作図
Q Question
平行な直線の作図は，どのようにすればよいか考えてみましょう。
図形の中で平行になる部分を見つければいいね。
ひし形の向かい合う辺が平行だから，ひし形が使えるかな。
見方・考え方
これまでの作図のしかたをもとにして考えられるかな。
目標 ▷ これまでの作図を利用して，図形の性質について調べよう。
平面上の2直線 ℓ，mが交わらないとき，2直線 ℓ，mは平行であるという。このとき，記号[mathjax]\(/\!/ \)を使って [mathjax]\(ℓ /\!/m\) と表し，「ℓ平行m」と読む。
例 １ 直線 ℓに平行な直線を1つ作図しなさい。
考え方 角の二等分線を作図したときの手順を利用して，ひし形を作図する。
手順
① ℓ上に適当な点A，Bをとり，Aを中心として，半径 ABの円をかき，その円周上に適当な点Pをとる。
② P， Bを中心として，半径 ABの円をかき，Aと異なる交点を Qとする。
③ P，Qを通る直線を引く。
問 １ 右の図で，点 Pを通る直線 ℓに平行な直線 mを作図しなさい。
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問 ２ 右の図で，[mathjax]\(ℓ/\!/m\)のとき，次の3つの距離を比べなさい。
㋐ 直線 ℓ上の点 Aと直線 m
㋑ 直線 ℓ上の点 Bと直線 m
㋒ 直線 m上の点 Cと直線 ℓ
平行な2直線 ℓ，mがあるとき，一方の直線上の点と他方の直線との距離はつねに等しくなる。この距離を，平行な2直線 ℓ，m間の距離という。
問 ３ 右の図で[mathjax]\(ℓ/\!/m\)のとき，三角形 ABCの頂点Aを，直線 ℓ上で矢印の方向に動かした点をそれぞれ [mathjax] \(A´\)，[mathjax] \(A´´\)とします。このとき，三角形の形が変わっても，変わらないものは何ですか。また，その理由を説明しなさい。
三角形 ABCを記号[mathjax]\(\triangle\)を使って[mathjax]\(\triangle ABC\)と表し，「三角形 ABC」と読む。
平行線と面積
線分BCを共通の底辺とする[mathjax]\(\triangle ABC\)と[mathjax]\(\triangle A´BC\)において，
[mathjax]\(AA´/\!/BC\)ならば，[mathjax]\(\triangle ABC=\triangle A´BC\)である。
注意 [mathjax]\(\triangle ABC= \triangle A´BC\)は，2つの三角形の面積が等しいことを表している。
平行線と面積の性質を利用してみよう。
問 ４ [mathjax]\(AD/\!/BC\)である台形 ABCDの2つの対角線の交点を Oとするとき，次の三角形と面積の等しい三角形をいいなさい。
⑴ [mathjax]\(\triangle ABC\)
⑵ [mathjax]\(\triangle ADB\)
⑶ [mathjax]\(\triangle ABO\)
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例 ２ 右の図の四角形 ABCDと面積の等しい三角形の作図のしかたを考えなさい。
考え方 [mathjax]\(\triangle DAC\)で ACを底辺と考え，面積を変えずに頂点 Dを動かす。3点 B，C，Dが一直線上に並ぶとき，四角形 ABCDは三角形となる。
手順
① 対角線 ACを引く。
② 点 Dを通り ACに平行な直線を作図し，BCの延長との交点を [mathjax] \(D´\)とする。
③ 点 Aと[mathjax] \(D´\)を結ぶ。
問 ５ 右の図のように，土地が折れ線 PQRを境界線として，2つの部分㋐，㋑に分かれています。それぞれの土地の面積を変えずに，点 P を通る直線で境界線を引き直す方法を考えなさい。
円と直線の作図
Q Question
次の円で，円周上の点 A，Bを結んだ線分 ABがあります。点 A，Bが重なるように折り，それを開きます。折り目はどんな線になっているでしょうか。
見方・考え方
実際に折って，どんな線になるか確かめられるかな。
角の二等分線を見つけたときも，同じように折って確かめたね。
折り目は，線分 ABの対称の軸になっているのかな。
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1点 Oからの距離が等しい点の集合を円といい，点 Oが円の中心になる。また，点 Oを中心とする円を，円 Oという。
円周の一部分を 弧 という。2点 A，Bを両端とする弧を，記号[mathjax]\(\stackrel{\huge\frown}{}\)を使って[mathjax]\(\stackrel{\huge\frown}{AB}\)と表し，「弧AB」と読む。
また，円周上の2点を結ぶ線分を 弦 といい，両端が A，Bである弦を，弦 ABという。
注意 [mathjax]\(\stackrel{\huge\frown}{AB}\)といえば，ふつう，小さい方の弧を指す。
前ページの【Q】で，折り目の線は，弦 ABの垂直二等分線であり，円の中心 Oを通る。
右の図のように，円 Oの直径 STに垂直な直線ℓを引き，ℓと STとの交点を M，ℓと円 Oとの交点を A，Bとする。このとき，STは円 Oの対称の軸だから，[mathjax]\(AM=BM\)である。
ℓを図のように平行に移動させていくと，A，Bはしだいに近づき，点 Tで一致する。
円と直線が1点だけを共有するとき，円と直線は 接する といい，共有する点を 接点，接する直線を 接線 という。
円の接線
円の接線は，接点を通る半径に垂直である。
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銅鏡の一部が見つかったよ。もとはどんな形だったのかな。
もとの形は，円形をしていたんじゃないかな。
Q Question
次の図のような，円形と考えられる銅鏡の一部が見つかりました。
もとの形を復元するには，どのようにすればよいでしょうか。銅鏡の外周を弧と考え，もとの円を作図する方法を考えてみましょう。
見方・考え方
これまでの作図のしかたをもとにして説明できるかな。
銅鏡を復元するには，円の中心がわかればいいのかな。
弦の垂直二等分線は，円の中心を通るね。
弦の垂直二等分線をかけば，円の中心がわかるのかな。
１ 弦の垂直二等分線を1つ作図しただけでは，円の中心はわかりませんでした。どうすれば円の中心がわかるでしょうか。
条件をもう1つ加えればいいのかな。
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２ 拓真さんは，次のような手順で作図を行いました。
① 銅鏡の外周上に3点 A，B，Cをとる。
② 線分 ABの垂直二等分線 ℓを作図する。
③ 線分 BCの垂直二等分線mを作図する。
④ ℓ，mの交点 Oを中心として，半径 OAの円をかく。
拓真さんの方法で作図を行い，もとの形が作図できることを確かめましょう。また，この方法で作図できる理由を説明しましょう。
問 ６ 173ページの地図で，宝の隠し場所を作図によって求めなさい。
円の接線の作図
Q Question
右の図のような円 Oで，円周上の点 Tにおける接線 ℓの作図のしかたを考えてみましょう。
直線ℓと半径 OTは垂直に交わるから，そのことが使えないかな。
見方・考え方
円の接線と半径の関係に着目して考えられるかな。
例 ３ 右の図の円Oで，円周上の点Mを通る円O の接線を作図しなさい。
手順
①2点 O，Mを通る直線mを引く。
②Mを通るmの垂線を作図する。
問 ７ 例3の図で，点 Nを通る円 Oの接線を作図しなさい。
<1年p.190>
どんなことがわかったかな
垂線や垂直二等分線の作図を利用すると，円の中心，円の接線などを作図することができます。
確かめよう 1節 いろいろな角の作図
１ 次の図で，線分 ABの中点 Mを，作図によって求めなさい。
２ 次の図の[mathjax]\(\triangle ABC\)で，辺 BCを底辺と考えたとき，高さを示す線分を作図しなさい。
３ 次の図で，[mathjax]\(\angle AOB\)の二等分線を作図しなさい。
