教科書アドバイザー「マスマス！」

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<1年p.102>

２　方程式

Q Question

97ページの【１】 ❷の天びんについて，左右の重さの関係を等式で表すと， $3 x + 2 = x + 10$ となります。この式のxの値を求めるには，どうすればよいか考えてみましょう。

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わからない数が両辺にあるときは，どうすればいいのかな。

見方・考え方　

小学校でわからない数を求めたときと同じように考えられるかな。

目標　▷　等式を成り立たせる，文字にあてはまる値の求め方を考えよう。

　問１　　【Q】の等式 $3 x + 2 = x + 10$ の両辺のxに1から5までの整数をそれぞれ代入して，等式が成り立つかどうかを調べなさい。また，このことから，クリップ1個の重さは，何gになりますか。

\begin{array}{cccc} x の値 & 左辺 3 x + 2 の値 & 大小関係 & 右辺 x + 10 の値 \\ 1 & 3 \times 1 + 2 = 5 & < & 1 + 10 = 11 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}

等式 $3 x + 2 = x + 10$ のxに，1から順に整数を代入すると，xの値が4のとき，左辺の値と右辺の値が等しくなり，等式が成り立つ。それ以外の値では成り立たない。

このように，xの値によって成り立ったり成り立たなかったりする等式を，xについての方程式という。
また，方程式を成り立たせるxの値を，方程式の解といい，方程式の解を求めることを，方程式を解くという。
方程式 $3 x + 2 = x + 10$ の解は4である。

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クリップ1個の重さが4g ということだね。

おしえて！

P.122

不等式にも解はあるのかな？

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<1年p.103>

　例１　　方程式 $2 x + 5 = 11$ の解は， $1$ ， $2$ ， $3$ のうちどれですか。

解答

$2 x + 5 = 11$ のxに， $1$ ， $2$ ， $3$ をそれぞれ代入すると，左辺は，

$x = 1$ のとき， $2 \times 1 + 5 = 7$

$x = 2$ のとき， $2 \times 2 + 5 = 9$

$x = 3$ のとき， $2 \times 3 + 5 = 11$

以上より， $x = 3$ のとき，等式が成り立つ。

　　答　解は3 である

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　問２　　次の方程式の解は，3，4，5のうちどれですか。

⑴　 $2 x - 3 = 7$

⑵　 $x + 2 = 10 - x$

　問３　　次の㋐～㋓の方程式のうち，解が2であるものはどれですか。また，解が-2であるものはどれですか。

㋐　 $3 x + 2 = 8$

㋑　 $x - 5 = 3$

㋒　 $- 2 x = 4$

㋓　 $2 x - 3 = x - 1$

どんなことがわかったかな

方程式の解は，文字にいろいろな数を代入して，方程式が成り立つかどうかで求めることができます。

次の課題へ！
文字に数を代入しないで，方程式を解く方法はあるのかな？
P.104

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用語の由来「方程式」　Tea Break

方程式の「方程」ということばは，中国で1世紀頃にまとめられた『九章算術』という数学書の第八巻の表題に出てきます。
　『九章算術』では，「算木」と呼ばれる数を表す棒を，「算盤」と呼ばれる位取り表のます目の上に並べ，算木を操作することによって方程式を解いています。
「方程」の語源には，いろいろな説があります。その中の1つの説では，“方”は「左右」，“程”は「大小の比較」を表し，“方程”の意味は，「左右を比べまとめる」ことと考えられています。

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<1年p.104>

３　方程式の解き方

Q Question

97ページの1 ②の天びんでは，
左側の重さは， $(3 x + 2)$ g ，
右側の重さは， $(x + 10)$ g
です。天びんがつり合ったままで，片方がクリップ1個になるようにするには，どんな操作をすればよいでしょうか。

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左右から同じものを取っても，天びんはつり合ったままだね。

左右から同じものを取る以外には，どんなことができるかな。

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見方・考え方　

天びんの操作と式を関連づけて考えられるかな。

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目標　▷　文字に数を代入せずに，方程式を解く方法を考えよう。

つり合っている天びんでは，両方の皿から同じ重さのものを取り除いたり，両方の重さを半分にしたりしても，天びんはつり合ったままになる。
このことを等式で考えると，右のようになる。
右の図から，クリップ1個の重さが4g であることがわかる。
また，このことから，方程式を「 $x = (数)$ 」の形に変形することができれば，解を求めることができることがわかる。

$3 x + 2 = x + 10$

\begin{array}{rcl} 3 x + 2 - x - 2 & = & x + 10 - x - 2 \\ 2 x & = & 8 \end{array}

\begin{array}{rcl} 2 x \div 2 & = & 8 \div 2 \\ x & = & 4 \end{array}

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<1年p.105>

つり合っている天びんに，次のような操作をしても天びんはつり合う。

両方に同じ重さのものをのせる
両方から同じ重さのものを取り除く

両方の重さを 3倍にする
両方の重さを $\frac{1}{3}$ にする

つり合っている天びんと同じように，等式には次のような性質がある。

等式の性質
①等式の両辺に同じ数や式mを加えても，等式は成り立つ。

$A = B$ ならば， $A + m = B + m$

②等式の両辺から同じ数や式mをひいても，等式は成り立つ。

$A = B$ ならば， $A - m = B - m$

③等式の両辺に同じ数mをかけても，等式は成り立つ。

$A = B$ ならば， $A m = B m$

④等式の両辺を同じ数 $m (m \neq 0)$ でわっても，等式は成り立つ。

$A = B$ ならば， $\frac{A}{m} = \frac{B}{m}$

　注意　　 $m \neq 0$ は，mは0でないことを表している。

また，等式の両辺を入れかえても，その等式は成り立つ。
$A = B ならば， B = A$

　等式の性質を使った方程式の解き方

　例１　

⑴　 $x + 6 = - 2$
両辺から6をひくと，

\begin{array}{rcl} x + 6 - 6 & = & - 2 - 6 \\ x & = & - 8 \end{array}

⑵　 $x - 3 = 4$
両辺に3を加えると，

\begin{array}{rcl} x - 3 + 3 & = & 4 + 3 \\ x & = & 7 \end{array}

例1⑴で導いた等式 $x = - 8$ は，方程式 $x + 6 = - 2$ の解が $- 8$ であることを示している。

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<1年p.106>

　問１　　前ページの例1⑴で， $x = - 8$ をもとの方程式に代入して， $- 8$ が解であることを確かめなさい。また⑵ で， $x = 7$ をもとの方程式に代入して，7が解であることを確かめなさい。

　問２　　次の方程式を，等式の性質を使って解きなさい。

⑴　 $x + 4 = 10$

⑵　 $x + 7 = - 2$

⑶　 $x - 6 = 3$

⑷　 $x - 2 = - 8$

　例２　

⑴　 $6 x = 24$
両辺を6でわると，

\begin{array}{rcl} \frac{6 x}{6} & = & \frac{24}{6} \\ x & = & 4 \end{array}

⑵ $\frac{1}{2} x = - 3$
両辺に2をかけると，

\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} x \times 2 & = & (- 3) \times 2 \\ x & = & - 6 \end{array}

　問３　　次の方程式を，等式の性質を使って解きなさい。

⑴　 $4 x = 32$

⑵　 $- 3 x = 18$

⑶　 $- x = - 10$

⑷　 $8 x = 4$

⑸　 $\frac{1}{3} x = 5$

⑹　 $\frac{1}{5} x = - 6$

⑺　 $- \frac{1}{2} x = - 8$

⑻　 $\frac{x}{7} = - 1$

やってみよう
計算力を高めよう4-1
P.112

　問４　　これまでの学習をもとに，解が8になる方程式をつくりなさい。

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等式の性質の見方　Tea Break

等式の性質②で，等式 $A = B$ の両辺から【mをひくこと】は，次のように，等式の両辺に【 $- m$ を加えること】とみることができます。

$A - m = B - m$ 　→　 $A + (- m) = B + (- m)$

同じように，等式の性質❹で，等式 $A = B$ の両辺を【 $m (m \neq 0)$ でわること】は，次のように，等式の両辺に【 $\frac{1}{m}$ をかけること】とみることができます。

$\frac{A}{m} = \frac{B}{m}$ 　→　 $A \times \frac{1}{m} = B \times \frac{1}{m}$

このような見方をすれば，等式の性質❶と❷，❸と❹は，それぞれ1つにまとめることができます。

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<1年p.107>

Q Question

次の㋐，㋑は，等式の性質を使って方程式を解いたものです。それぞれ，式がどのように変わっていくか調べてみましょう。

見方・考え方　

式変形の根拠を説明できるかな。

㋐

\begin{array}{rclr} 4 x - 9 & = & 3 & ① \\ 4 x - 9 + 9 & = & 3 + 9 \\ 4 x & = & 3 + 9 & ② \\ 4 x & = & 12 \\ x & = & 3 \end{array}

㋑

\begin{array}{rclr} 7 x & = & 6 + x & ① \\ 7 x - x & = & 6 + x - x \\ 7 x - x & = & 6 & ② \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}

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㋐と㋑では，どこが似ているのかな。

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等式の性質を使うと，文字に数を代入するより，簡単に解を求められたね。

もっと，効率よく解を求める方法はあるかな。

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１　拓真さんは，【Q】㋐で，①と②の式を比べ，右のようなことに気づきました。㋑では，①と②の式についてどんなことがいえるでしょうか。

①では左辺に数の項 $- 9$ があったが，両辺に9を加えたために，②では左辺から $- 9$ が消えている。
その代わりに， ②では右辺に数の項 $+ 9$ が現れている。

２　【Q】㋐，㋑で， ①の式からすぐに②の式を導くにはどうすればよいでしょうか。　【1】で調べたことをもとに，説明しましょう。

㋐

\begin{array}{rcl} 4 x - 9 & = & 3 ① \\ 4 x & = & 3 + 9 ② \end{array}

㋑

\begin{array}{rcl} 7 x & = & 6 + x ① \\ 7 x - x & = & 6 ② \end{array}

等式では，一方の辺にある項を，符号を変えて他方の辺に移すことができる。このことを移項という。

㋐

\begin{array}{rcl} 4 x - 9 & = & 3 ① \\ 4 x & = & 3 + 9 ② \end{array}

移項

㋑

\begin{array}{rcl} 7 x & = & 6 + x ① \\ 7 x - x & = & 6 ② \end{array}

移項

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<1年p.108>

　移項を使った方程式の解き方

　例３　

⑴　 $3 x + 5 = - 4$
5を移項すると，

\begin{array}{rcl} 3 x & = & - 4 - 5 \\ 3 x & = & - 9 \\ x & = & - 3 \end{array}

⑵　 $5 x = - 2 x + 14$
$- 2 x$ を移項すると，

\begin{array}{rcl} 5 x + 2 x & = & 14 \\ 7 x & = & 14 \\ x & = & 2 \end{array}

　問５　　例3で，解が正しいことを，解をもとの方程式に代入して確かめなさい。

方程式を解くには，文字の項を左辺に，数の項を右辺に移項して， $a x = b$ の形に変形する。次に，両辺をxの係数aでわる。

　問６　　次の方程式を解きなさい。

⑴　 $2 x + 1 = 9$

⑵　 $4 x - 5 = - 13$

⑶　 $3 x = - 2 x - 15$

⑷　 $2 x = 3 x - 8$

　例４　　方程式 $8 x - 3 = 5 + 6 x$ を解きなさい。

解答

$8 x - 3 = 5 + 6 x$

$- 3$ ， $6 x$ を移項すると

\begin{array}{rcl} 8 x - 6 x & = & 5 + 3 \\ 2 x & = & 8 \\ x & = & 4 \end{array}

答　 $x = 4$

見直したときわかりやすいように，「 $=$ 」をそろえて書いておこう。

　問７　　次の方程式を解きなさい。

⑴　 $6 x - 12 = 3 x$

⑵　 $7 x - 3 = 5 x + 7$

⑶　 $5 x + 15 = - 2 x + 1$

⑷　 $3 + 7 x = 4 x - 6$

⑸　 $8 + 2 x = 3 x - 1$

⑹　 $- 3 x + 2 = x + 4$

やってみよう
計算力を高めよう4-2
P.112

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<1年p.109>

　かっこをふくむ方程式

　例５　　方程式 $5 x - 2 (x - 3) = 3$ を解きなさい。

　考え方　　分配法則を使って，かっこをはずしてから解く。

解答

\begin{array}{rcl} 5 x - 2 (x - 3) & = & 3 \\ 5 x - 2 x + 6 & = & 3 \end{array}

6 を移項すると，

\begin{array}{rcl} 5 x - 2 x & = & 3 - 6 \\ 3 x & = & - 3 \\ x & = & - 1 \end{array}

答　 $x = - 1$

分配法則で負の数をかけるときは，符号に注意しよう。

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　問８　　次の方程式を解きなさい。

⑴　 $2 (x - 5) + 1 = 7$

⑵　 $4 x - 7 (x + 2) = - 5$

⑶　 $- 2 (x + 3) = 5 x + 8$

⑷　 $3 (x - 8) = - 6 (x + 4)$

やってみよう
計算力を高めよう4-3
P.112

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　小数や分数をふくむ方程式

　例６　　方程式 $2.3 x = 0.5 x + 9$ を解きなさい。

　考え方　　計算しやすくするために，両辺に10をかけて，係数を整数に直す。

解答

$2.3 x = 0.5 x + 9$

両辺に10 をかけると，

\begin{array}{rcl} 2.3 x \times 10 & = & (0.5 x + 9) \times 10 \\ 23 x & = & 5 x + 90 \\ 23 x - 5 x & = & 90 \\ 18 x & = & 90 \\ x & = & 5 \end{array}

答　 $x = 5$

係数を整数に直す

文字の項を左辺に，数の項を右辺に移項する

$a x = b$ の形にする

両辺をxの係数aでわる

係数に小数をふくむ方程式では，両辺に $10$ ， $100$ などをかけて，係数を整数に直してから解くとよい。

　問９　　次の方程式を解きなさい。

⑴　 $0.4 x + 2 = 0.3 x$

⑵　 $0.25 x = 0.2 x - 0.1$

やってみよう
計算力を高めよう4-4
P.112

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<1年p.110>

　例７　　方程式 $\frac{5}{6} x - 2 = \frac{1}{3} x$ を解きなさい。

　考え方　　計算しやすくするために，両辺に6と3の公倍数をかけて，係数を整数に直す。

解答

$\frac{5}{6} x - 2 = \frac{1}{3} x$

両辺に6 をかけると，

\begin{array}{rcl} (\frac{5}{6} x - 2) \times 6 & = & \frac{1}{3} x \times 6 \\ 5 x - 12 & = & 2 x \\ 5 x - 2 x & = & 12 \\ 3 x & = & 12 \\ x & = & 4 \end{array}

答　 $x = 4$

係数を整数に直す

文字の項を左辺に，数の項を右辺に移項する

$a x = b$ の形にする

両辺をxの係数aでわる

係数に分数をふくむ方程式では，両辺に分母の公倍数をかけて，係数を整数に直してから解くとよい。
このようにすることを，分母をはらうという。

最小公倍数をかけると，簡単な数になるね。

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　問 10　　次の方程式を解きなさい。

⑴　 $\frac{1}{2} x = \frac{2}{5} x - 1$

⑵　 $\frac{2}{3} x - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} x + 2$

⑶　 $\frac{x - 3}{2} = - 4$

⑷　 $\frac{x + 2}{6} = \frac{x - 3}{4}$

やってみよう
計算力を高めよう4-5
P.112

方程式を解く手順
❶係数に小数や分数があるときは，整数に直すとよい。かっこがあれば，かっこをはずす。
❷文字の項を左辺に，数の項を右辺に移項する。
❸両辺をそれぞれ計算し， $a x = b (a \neq 0)$ の形にする。
❹両辺をxの係数aでわる。

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<1年p.111>

これまで解いてきたxについての方程式は，すべての項を左辺に移項して整理すると，
$a x + b = 0 (a \neq 0)$
のように，左辺がxについての1次式になる。このような方程式を， 1次方程式という。

どんなことがわかったかな

等式の性質や移項を使えば，1次方程式を解くことができます。

次の課題へ！
1次方程式は，どんなところで使えるのかな？
P.113，118

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確かめよう　1節　方程式

□　数量の関係を，等式や不等式で表すことができる。　等式と不等式　P.99例1　P.100例2

１　次の数量の関係を，等式や不等式で表しなさい。

⑴　1個a kg の荷物7個の重さは，40kg より重くなる。
⑵　120円のカレーパンx個と200円の牛乳を買ったときの代金は，160円のコロッケパンy個を買ったときの代金と等しい。
⑶　時速4 km でx時間歩いたときの道のりは，20 km 以下である。

□　方程式の解について理解している。　方程式　P.103問3

２　次の㋐〜㋒の方程式のうち，解が3であるものはどれですか。

㋐　 $x - 7 = 10$

㋑　 $4 x = 12$

㋒　 $3 x + 1 = 9$

□　等式の性質を使って，方程式を解くことができる。　方程式の解き方　P.105例1P.106例2

３　次の方程式を，等式の性質を使って解きなさい。

⑴　 $x - 4 = - 1$

⑵　 $x + 5 = - 2$

⑶　 $7 x = - 42$

⑷　 $\frac{1}{3} x = 9$

□　方程式を解くことができる。　方程式の解き方　P.108例3例4　P.109例5

４　次の方程式を解きなさい。

⑴　 $2 x - 3 = 5$

⑵　 $3 x = 5 x - 12$

⑶　 $6 x - 17 = - 3 x + 10$

⑷　 $4 x + 12 = 7 - x$

⑸　 $5 - 4 x = 2 x - 1$

⑹　 $3 (x - 5) = - 6$

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<1年p.112>

計算力を高めよう４　

家庭学習や計算練習で利用しましょう。

方程式　解答P.303〜304

次の方程式を解きなさい。

１　等式の性質

⑴　 $x + 5 = 9$
⑵　 $x - 8 = 3$
⑶　 $x + 1 = - 7$
⑷　 $x - 6 = - 5$
⑸　 $8 x = 48$
⑹　 $- 2 x = 18$
⑺　 $- 9 x = - 63$
⑻　 $12 x = - 20$
⑼　 $\frac{1}{4} x = 5$
⑽　 $\frac{x}{3} = - 2$

２　係数が整数の方程式

⑴　 $4 x - 5 = 7$
⑵　 $3 x + 7 = 4$
⑶　 $- x + 8 = 2$
⑷　 $5 - 7 x = - 16$
⑸　 $4 x = 0$
⑹　 $10 x = 8 x - 6$
⑺　 $- 2 x = 10 + 3 x$
⑻　 $5 x + 21 = 2 x$
⑼　 $6 x - 4 = x$
⑽　 $3 x - 5 = x + 7$
⑾　 $8 x - 2 = 5 x + 1$
⑿　 $7 x - 2 = 4 x - 16$
⒀　 $x + 5 = 4 x + 7$
⒁　 $5 - 4 x = 1 - 2 x$
⒂　 $2 - 5 x = 3 x - 10$

３　かっこをふくむ方程式

⑴　 $3 (x + 6) = x + 2$
⑵　 $6 x - (2 x - 9) = 11$
⑶　 $9 x - 2 (3 x + 5) = 2$
⑷　 $7 (x - 2) = 4 (x - 5)$

４　係数に小数をふくむ方程式

⑴　 $0.4 x + 0.2 = - 1.8$
⑵　 $0.7 x - 1 = 0.3 x + 2$
⑶　 $0.13 x = 0.07 x - 0.3$
⑷　 $0.75 x - 2 = 0.5 x$

５　係数に分数をふくむ方程式

⑴　 $3 x - 1 = \frac{x}{2}$
⑵　 $\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} x + 3$
⑶　 $\frac{x - 8}{3} = - 5$
⑷　 $\frac{x + 5}{6} = \frac{3 x + 1}{4}$

２　方程式

Q Question

３　方程式の解き方

Q Question

等式の性質を使った方程式の解き方

Q Question

移項を使った方程式の解き方

かっこをふくむ方程式

小数や分数をふくむ方程式

計算力を高めよう４

＜ミライ教科書３学年分もくじ＞

＜スグラパ＞

＜ドリルまとめ＞

２ 方程式

Q Question

３ 方程式の解き方

Q Question

等式の性質を使った方程式の解き方

Q Question

移項を使った方程式の解き方

かっこをふくむ方程式

小数や分数をふくむ方程式

計算力を高めよう ４

＜ミライ教科書３学年分もくじ＞

＜スグラパ＞

＜ドリルまとめ＞

２　方程式

３　方程式の解き方

　等式の性質を使った方程式の解き方

　移項を使った方程式の解き方

　かっこをふくむ方程式

　小数や分数をふくむ方程式

計算力を高めよう４　